Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2+mx+2m2（m＞0）與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左邊，C是拋物線上一個動點（點C與點A、B不重合），D是OC的中點，連接BD并延長，交AC于點E．

（1）用含m的代數(shù)式表示點A、B的坐標；

（2）求證：；

（3）若點C、點A到y軸的距離相等，且s△CDE=1.6時，求拋物線和直線BE的解析式．

Answer 1

【答案】（1）A(-m，0)，b(2m，0)；（2）見解析；（3）y=-x2+2x+8，

【解析】

（1）解x的方程-x2+mx+2m2=0，x1=-m，x2=2m．因為點A在點B的左邊，且m＞0，所以A(-m，0)，b(2m，0)；

（2）過點O作OG//AC交BE于點G．則△CED∽△OGD，所以； 由△BOG∽△BAE，得．因為OB=2m，AB=3m，代入可求出結論；

（3）連接OE，易得S△OCE=2S△CED，因為，所以，即S△AOC=5S△CED=8，點C（m，2m2），由S△AOC=OA|yC|=求得m=2．進而可求出拋物線的解析式和直線BE的解析式．

解：（1）∵拋物線y=-x2+mx+2m2（m＞0）與x軸交于A、B兩點，

∴關于x的方程-x2+mx+2m2=0有兩個不相等的實數(shù)根x1和x2；

解得x1=-m，x2=2m．

∵點A在點B的左邊，且m＞0，

∴A(-m，0)，b(2m，0)；

（2）過點O作OG∥AC交BE于點G．

∴△CED∽△OGD，∴；

∵DC=DO，

∴CE=OG；

∵OG//AC，

∴△BOG∽△BAE，∴．

∵OB=2m，AB=3m，

∴．

（3）連接OE．

∵D是OC的中點，

∴S△OCE=2S△CED，

∵，∴，∴S△AOC=5S△CED=8，

∵點C、點A到y軸的距離相等，點C在拋物線y=-x2+mx+2m2上，

∴點C(m，2m2)，

∵S△AOC=OA|yC|= =，

∴m3=8，解得m=2．

∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+8，

∴點B(4，0)，點C(2，8)．

∴此時D為(1，4)，

設直線BE的解析式為:y=kx+b，

∴，

解得

，

∴直線BE的解析式為：．