Question

【題目】如圖，拋物線y＝mx2﹣4mx+2m+1與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，與y軸交于點C，且x2﹣x1＝2．

（1）求拋物線的解析式；

（2）E是拋物線上一點，∠EAB＝2∠OCA，求點E的坐標；

（3）設(shè)拋物線的頂點為D，動點P從點B出發(fā)，沿拋物線向上運動，連接PD，過點P做PQ⊥PD，交拋物線的對稱軸于點Q，以QD為對角線作矩形PQMD，當(dāng)點P運動至點（5，t）時，求線段DM掃過的圖形面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（，﹣）或（，）；（3）1.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的對稱軸公式以及與x軸的交點坐標可得，又x2﹣x1＝2，可求得x1＝1，x2＝3，由此可得A，B兩點坐標.將A點坐標代入拋物線解析式可求得m的值，由此可得拋物線解析式；

（2）作MN垂直且平分線段AC，交y軸與點F，連接FA.可得∠OFA=2∠OCA，所以∠OFA=∠EAB，在Rt△OFA中表示∠OFA的正切值，分點E在x軸下方和x軸上方兩種情況討論，分別構(gòu)造直角三角形表示∠EAB（∠E'AB）的正切值.根據(jù)相等角的正切值相等列出方程解方程即可；

（3）連接AD，過P作PS⊥QD于點S，作PH⊥x軸于點H，過B作BI∥QD，交PS于點I，先證明M的軌跡在x軸上，當(dāng)P在B點時，M在A點.點P從點B出發(fā)沿拋物線向上運動時，M在A處沿x軸向左邊運動．MD掃過的面積即S△MAD，求S△MAD即可.

解：（1）∵拋物線與x軸有兩個交點A（x1，0），B（x2，0）

∴拋物線對稱軸直線x＝＝＝2

∴

又∵x2﹣x1＝2

∴x1＝1，x2＝3

則點A（1，0），B（3，0）

把點A（1，0）代入y＝mx2﹣4mx+2m+1中得，

m﹣4m+2m+1＝0

解得，m＝1

∴拋物線解析式為y＝x2﹣4x+3

（2）如圖①

作MN垂直且平分線段AC，交y軸與點F．連接FA，則∠OFA＝2∠OCA

由MN垂直平分AC得FC＝FA，設(shè)F（0，n），則OF＝n，OA＝1

在Rt△OAF中，由勾股定理得，AF＝＝

∴FC＝

∴OC＝OF+FC＝n+＝3

∴＝3﹣n

等式左右兩邊同時平方得，1+n2＝（3﹣n）2

解得，n＝

∴F（0，）

∴tan∠OFA＝＝＝

①當(dāng)拋物線上的點E在x軸下方時，作EG⊥x軸于點G，并使得∠EAB＝∠OFA．

設(shè)點E（m，m2﹣4m+3），其中1＜m＜3，則tan∠EAB＝＝＝

整理得，4m2﹣13m+9＝0

解得，m1＝，m2＝1（舍去）

此時E點坐標為（，﹣）；

②當(dāng)拋物線上的點E'在x軸上方時，作E'H⊥x軸于點H，并使得∠E'AB＝∠OFA．

設(shè)點E'（m，m2﹣4m+3），其中m＞3，則tan∠E'AB＝＝＝

整理得，4m2﹣19m+15＝0

解得，m3＝，m4＝1（舍去）

此時E’點坐標為（，）

綜上所述，滿足題意的點E的坐標可以為（，﹣）或（，）

（3）如圖②，

連接AD，過P作PS⊥QD于點S，作PH⊥x軸于點H，過B作BI∥QD，交PS于點I．

設(shè)QD⊥x軸于點T，DP與x軸交于點R．

∵在矩形PQMD中，MQ∥DP

∴∠QMH＝∠MRD

又∵在△MDR中，∠MDR＝90°

∴∠DMR+∠DRM＝90°

又∵∠QMD＝∠QMR+∠DMR＝90°，R在x軸上

∴M恒在x軸上．

又∵PQ∥MD

∴∠PQS＝∠MDT．

∴在△MTD與△PSQ中，

∴△MTD≌△PSQ（AAS）

∴MT＝PS

又∵PS＝TH

∴MT＝TH

又∵AT＝TB

∴MT﹣AT＝TH﹣TB

即MA＝BH．

又∵P點橫坐標為5時，易得OH＝5

∴BH＝OH﹣OB＝5﹣3＝2

∴MA＝2

又∵當(dāng)P在B點時依題意作矩形PQMD，M在A點

由點P從點B由出發(fā)沿拋物線向上運動，易得M在A處沿x軸向左邊運動．

∴MD掃過的面積即S△MAD

∴S△MAD＝MATD＝×2×1＝1．

即線段DM掃過的圖形面積為1．