Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過(guò)點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為AB邊上中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．

（1）求證：DF=AC

（2）試判斷四邊形BECD是什么特殊四邊形？說(shuō)明你的理由；

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）四邊形BECD是菱形，理由見(jiàn)詳解.

【解析】

（1）由題意根據(jù)平行線定義與性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)判斷出DF為Rt△ABC的中位線即可求證；

（2）根據(jù)題意先利用平行四邊形的判定得出四邊形BECD是平行四邊形，再證明CD=BD即可求證四邊形BECD是菱形.

解：（1）證明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥BC，

∴AC∥DE，

∵D為AB邊上中點(diǎn)，

∴DF為Rt△ABC的中位線，

∴DF=AC.

（2）四邊形BECD是菱形，理由如下：

∵D為AB中點(diǎn)，

∴AD=BD．

∵MN∥AB, ∠ACB=90°, DE⊥BC,

∴CA∥DE, 四邊形ADEC是平行四邊形，

∴CE=AD，BD=CE．

∵BD∥CE，

∴四邊形BECD是平行四邊形．

∵∠ACB=90°，D為AB中點(diǎn)，

∴CD=BD，

∴四邊形BECD是菱形.