Question

已知如圖所示，△ABC中∠A=∠B=30°，CD是△ABC的角平分線，以C為圓心，CD為半徑畫圓，交CA所在直線于E、F兩點，連接DE、DF．
（1）求證：直線AB是⊙C的切線．
（2）若AC=10cm，求DF的長．

Answer 1

分析：（1）證CD⊥AB即可．根據(jù)等腰三角形性質(zhì)易證；
（2）根據(jù)已知角的度數(shù)可證△CDE是等邊三角形，△ADE是等腰三角形，得到AE=EC=CF．解直角△DEF求解．

解答：（1）證明：∵∠A=∠B，
∴AC=BC．
∵CD是△ABC的角平分線，
∴CD⊥AB．
∴直線AB是⊙C的切線．

（2）解：∵CD⊥AB，∠A=30°，
∴∠ACD=60°．
又CD=CE，
∴△CDE是等邊三角形，
∴CE=DE，∠CDE=60°．
∴∠ADE=30°=∠A，
∴AE=DE．
∴AE=EC=CF=

1

2

AC=5cm．
∵EF是直徑，∴∠EDF=90°．
∴DF=EF•sin60°=10×

3

2

=5

3

．

點評：此題考查了切線的判定和解直角三角形，是各地常出的中考題型，難度中等．