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        1. 【題目】如圖,P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)(P與A、C不重合),點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上,且PE=PB.

          (1)求證:①PE=PD;②PE⊥PD;
          (2)設(shè)AP=x,△PBE的面積為y.
          ①求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出x的取值范圍;
          ②當(dāng)x取何值時(shí),y取得最大值,并求出這個(gè)最大值.

          【答案】
          (1)

          證明:①過(guò)點(diǎn)P作GF∥AB,分別交AD、BC于G、F.如圖所示.

          ∵四邊形ABCD是正方形,

          ∴四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形,

          △AGP和△PFC都是等腰直角三角形.

          ∴GD=FC=FP,GP=AG=BF,∠PGD=∠PFE=90度.

          又∵PB=PE,

          ∴BF=FE,

          ∴GP=FE,

          ∴△EFP≌△PGD(SAS).

          ∴PE=PD.

          ②∴∠1=∠2.

          ∴∠1+∠3=∠2+∠3=90度.

          ∴∠DPE=90度.

          ∴PE⊥PD


          (2)

          解:①過(guò)P作PM⊥AB,可得△AMP為等腰直角三角形,

          四邊形PMBF為矩形,可得PM=BF,

          ∵AP=x,∴PM= x,

          ∴BF=PM= x,PF=1﹣ x.

          ∴SPBE= BE×PF=BFPF= x(1﹣ x)=﹣ x2+ x.

          即y=﹣ x2+ x.(0<x< ).

          ②y=﹣ x2+ x=﹣ (x﹣ 2+

          ∵a=﹣ <0,

          ∴當(dāng)x= 時(shí),y最大值=


          【解析】(1)可通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)求解.過(guò)點(diǎn)P作GF∥AB,分別交AD、BC于G、F,那么可通過(guò)證三角形GPD和EFP全等來(lái)求PD=PE以及PE⊥PD.在直角三角形AGP中,由于∠CAD=45°,因此三角形AGP是等腰直角三角形,那么AG=PG,而PB=PE,PF⊥BE,那么根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的特點(diǎn)可得出BF=FE=AG=PG,同理可得出兩三角形的另一組對(duì)應(yīng)邊DG,PF相等,因此可得出兩直角三角形全等.可得出PD=PE,∠GDP=∠EPF,而∠GDP+∠GPD=90°,那么可得出∠GPD+∠EPF=90°,由此可得出PD⊥PE.(2)求三角形PBE的面積,就要知道底邊BE和高PF的長(zhǎng),(1)中已得出BF=FE=AG,那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG,GP即BF,F(xiàn)E的長(zhǎng),那么就知道了底邊BE的長(zhǎng),而高PF=CD﹣GP,也就可求出PF的長(zhǎng),可根據(jù)三角形的面積公式得出x,y的函數(shù)關(guān)系式.然后可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出y的最大值以及對(duì)應(yīng)的x的取值.
          【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì),掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可以解答此題.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (1)填空:一次函數(shù)的解析式為 , 反比例函數(shù)的解析式為
          (2)點(diǎn)P是線(xiàn)段AB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D,連接OP,若△POD的面積為S,求S的取值范圍.

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          (1)求k的值.
          (2)求點(diǎn)B的坐標(biāo).
          (3)設(shè)點(diǎn)P(m,0),使△PAB的面積為2,求m的值.

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          (1)求大、小貨車(chē)原計(jì)劃每輛每次各運(yùn)送帳篷多少頂?
          (2)因地震導(dǎo)致路基受損,實(shí)際運(yùn)送過(guò)程中,每輛大貨車(chē)每次比原計(jì)劃少運(yùn)200m頂,每輛小貨車(chē)每次比原計(jì)劃少運(yùn)300頂,為了盡快將帳篷運(yùn)送到災(zāi)區(qū),大貨車(chē)每天比原計(jì)劃多跑 m次,小貨車(chē)每天比原計(jì)劃多跑m次,一天恰好運(yùn)送了帳篷14400頂,求m的值.

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