Question

15．如圖，二次函數(shù)y=-$\frac{5}{8}$x²+$\frac{7}{4}$x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在該拋物線上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，連接BC、BD，設(shè)∠OCB=α，∠DBC=β，則cos（α-β）的值是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 延長(zhǎng)BD交y軸于P，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠OPB=α-β，解方程-$\frac{5}{8}$x²+$\frac{7}{4}$x+3=0，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)和點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，求出OP的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出PB的長(zhǎng)，根據(jù)余弦的概念解答即可．

解答 解：延長(zhǎng)BD交y軸于P，
∵∠OCB=α，∠DBC=β，
∴∠OPB=α-β，
-$\frac{5}{8}$x²+$\frac{7}{4}$x+3=0，
解得，x₁=-1.2，x₂=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1.2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），
x=0時(shí)，y=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∵點(diǎn)D在該拋物線上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4），
設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為：y=-2x+8，
∴OP=8，
PB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{P}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴cos（α-β）=cos∠OPB=$\frac{OP}{PB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)的求法，正確運(yùn)用一元二次方程的解法求出拋物線與x軸的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意三角形的外角的性質(zhì)的應(yīng)用．