Question

（2013•無(wú)錫）如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意選取兩個(gè)作為條件，“四邊形ABCD是平行四邊形”為結(jié)論構(gòu)造命題．
（1）以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題嗎？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)舉出反例；
（2）寫出按題意構(gòu)成的所有命題中的假命題，并舉出反例加以說(shuō)明．（命題請(qǐng)寫成“如果…，那么…．”的形式）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行得出相似三角形，推出比例式，即可求出OB=OD，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；
（2）根據(jù)等腰梯形和平行四邊形的判定判斷即可．

解答：（1）以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題，
證明：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴

AO

OC

=

BO

OD

，
∵AO=OC，
∴OB=OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．

（2）根據(jù)①③作為條件構(gòu)成的命題是假命題，即如果有一組對(duì)邊平行，而另一組對(duì)邊相等的四邊形時(shí)平行四邊形，如等腰梯形符合，但不是平行四邊形；
根據(jù)②③作為條件構(gòu)成的命題是假命題，即如果一個(gè)四邊形ABCD的對(duì)角線交于O，且OA=OC，AD=BC，那么這個(gè)四邊形時(shí)平行四邊形，如圖，

根據(jù)已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四邊形不是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰梯形的判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力和辨析能力，題目比較好，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．