Question

如圖，矩形ABCD，AB=6cm，AD=2cm，點(diǎn)P以2cm/s的速度從頂點(diǎn)A出發(fā)沿折線A-B-C向點(diǎn)C運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q以1cm/s的速度從頂點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動，當(dāng)其中一個(gè)動點(diǎn)到達(dá)末端停止運(yùn)動時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動．
（1）問兩動點(diǎn)運(yùn)動幾秒，使四邊形PBCQ的面積是矩形ABCD面積的

4

9

；
（2）問兩動點(diǎn)經(jīng)過多長時(shí)間使得點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為

5

？若存在，求出運(yùn)動所需的時(shí)間；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要使四邊形PBCQ的面積是矩形ABCD面積的

4

9

，此時(shí)點(diǎn)P應(yīng)在AB上，才是四邊形．根據(jù)路程=速度×?xí)r間，分別用t表示BP、CQ的長，再根據(jù)梯形的面積公式列方程求解；
（2）根據(jù)勾股定理列方程即可，注意分情況考慮．

解答：解：（1）設(shè)兩動點(diǎn)運(yùn)動t秒，使四邊形PBCQ的面積是矩形ABCD面積的

4

9

．
根據(jù)題意，得BP=6-2t，CQ=t，矩形的面積是12．
則有

1

2

（t+6-2t）×2=12×

4

9

，
解得t=

2

3

；

（2）設(shè)兩動點(diǎn)經(jīng)過t秒使得點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為

5

．
①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，則有（6-2t-t）²+4=5，
解得t=

7

3

或

5

3

；
②當(dāng)3＜t≤4時(shí)，則有（8-2t）²+t²=5，
得方程5t²-32t+59=0，
此時(shí)△＜0，此方程無解．
綜上所述，當(dāng)t=

7

3

或

5

3

時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為

5

．

點(diǎn)評：此題是一道動態(tài)題，有一定的難度，綜合運(yùn)用了一元二次方程的知識和勾股定理．