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        1. 如圖,拋物線y1與y2都與x軸交于點(diǎn)O(0,0)和點(diǎn)A,y1的頂點(diǎn)是B(2,-1),y2的頂點(diǎn)是C(2,-3),P是y1上的一個動點(diǎn),過P作y軸的平行線交y2于點(diǎn)Q,分別過P,Q作x軸的平行線,分別交y1,y2于點(diǎn)P′,Q′,連接P′Q′.
          (1)四邊形PP′Q′Q 是
          形.
          (2)求y1與y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
          (3)設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t(t>2且t≠4),四邊形PP′Q′Q的周長為y,試求y與t的函數(shù)關(guān)系式.
          (4)當(dāng)四邊形PP′Q′Q是正方形,請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo).
          分析:(1)根據(jù)二次函數(shù)的對稱性解答;
          (2)設(shè)兩函數(shù)的頂點(diǎn)式解析式分別為y1=a1(x-2)2-1,y2=a2(x-2)2-3,然后把原點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求解即可;
          (3)根據(jù)兩函數(shù)解析式表示出PQ,根據(jù)對稱性求出PP′,然后根據(jù)矩形的周長公式列式整理即可得解;
          (4)根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形列方程求出t的值,再利用拋物線解析式求解即可.
          解答:解:(1)∵PP′∥x軸,QQ′∥x軸,
          ∴四邊形PP′Q′Q關(guān)于對稱軸直線x=2對稱,
          ∵PQ∥y軸,
          ∴PQ⊥PP′,
          ∴四邊形PP′Q′Q是矩形;

          (2)∵y1的頂點(diǎn)是B(2,-1),y2的頂點(diǎn)是C(2,-3),
          ∴設(shè)兩函數(shù)的解析式分別為y1=a1(x-2)2-1,y2=a2(x-2)2-3,
          則a1(0-2)2-1=0,a2(0-2)2-3=0,
          解得a1=
          1
          4
          ,a2=
          3
          4
          ,
          所以,y1=
          1
          4
          (x-2)2-1,y2=
          3
          4
          (x-2)2-3;

          (3)∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t(t>2且t≠4),
          ∴PQ=|
          1
          4
          (t-2)2-1-
          3
          4
          (t-2)2+3|=|2-
          1
          2
          (t-2)2|=|-
          1
          2
          t2+2t|,
          由拋物線的對稱性,PP′=2(t-2)=2t-4,
          ∴2<t<4時,y=2(2t-4-
          1
          2
          t2+2t)=-t2+8t-8,
          t>4時,y=2(2t-4+
          1
          2
          t2-2t)=t2-8,
          綜上所述,y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=
          -t2+8t-8(2<t<4)
          t2-8(t>4)
          ;

          (4)當(dāng)四邊形PP′Q′Q是正方形時,PP′=PQ,
          ∴2t-4=|-
          1
          2
          t2+2t|,
          ∴①2<t<4時,2t-4=-
          1
          2
          t2+2t,
          整理得,t2=8,
          解得t1=2
          2
          ,t2=-2
          2
          (舍去),
          此時,y1=
          1
          4
          (2
          2
          -2)2-1=2-2
          2
          ,
          ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2
          2
          ,2-2
          2
          );
          ②t>4時,2t-4=-(-
          1
          2
          t2+2t),
          整理得,t2-8t+8=0,
          解得,t3=4+2
          2
          ,t4=4-2
          2
          (舍去),
          此時,y1=
          1
          4
          (4+2
          2
          -2)2-1=2+2
          2
          ,
          ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4+2
          2
          ,2+2
          2
          ),
          綜上所述,四邊形PP′Q′Q是正方形,點(diǎn)P(2
          2
          ,2-2
          2
          )或(4+2
          2
          ,2+2
          2
          ).
          點(diǎn)評:本題是二次函數(shù)綜合題型,主要利用了二次函數(shù)的對稱性,矩形的判定與性質(zhì),待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,以及鄰邊相等的矩形是正方形,(4)根據(jù)t的取值范圍分情況討論是解題關(guān)鍵,也是本題容易出錯的地方.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

           如圖,拋物線y1=a(x+2)2-3y2=
          1
          2
          (x-3)2+1
          交于點(diǎn)A(1,3)過點(diǎn)A作x軸的平行線,分別交兩條拋物線于點(diǎn)B、C,則以下結(jié)論:
          ①無論x取何值,y2的值總是正數(shù);②a=
          2
          3
          ;③當(dāng)x=0時,y2-y1=4;④2AB=3AC;
          其中,結(jié)論正確的是
          ①②④
          ①②④
          (填寫序號即可)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,拋物線y1=ax2+bx+c與直線y2=kx+h相交于(3,0)、(0,-3)兩點(diǎn),當(dāng)y1>y2時,自變量x的取值范圍是( 。

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,拋物線y1=a(x+2)2-3y2=
          1
          2
          (x-3)2+1
          交于點(diǎn)A(1,3),過點(diǎn)A作x軸的平行線,分別交兩條拋物線于點(diǎn)B、C.則以下結(jié)論:
          ①無論x取何值,y2的值總是正數(shù);②a=
          3
          2
          ;③當(dāng)x=0時,y2-y1=5;④當(dāng)y2>y1時,0≤x<1;⑤2AB=3AC.
          其中正確結(jié)論的編號是
          ①⑤
          ①⑤

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          作業(yè)寶如圖,拋物線y1與y2都與x軸交于點(diǎn)O(0,0)和點(diǎn)A,y1的頂點(diǎn)是B(2,-1),y2的頂點(diǎn)是C(2,-3),P是y1上的一個動點(diǎn),過P作y軸的平行線交y2于點(diǎn)Q,分別過P,Q作x軸的平行線,分別交y1,y2于點(diǎn)P′,Q′,連接P′Q′.
          (1)四邊形PP′Q′Q 是______形.
          (2)求y1與y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
          (3)設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t(t>2且t≠4),四邊形PP′Q′Q的周長為y,試求y與t的函數(shù)關(guān)系式.
          (4)當(dāng)四邊形PP′Q′Q是正方形,請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo).

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          同步練習(xí)冊答案