Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸和軸于點(diǎn).

(1)如圖1，已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線相切于點(diǎn)，求的直徑長(zhǎng)；

(2)如圖2，已知直線分別交軸和軸于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為圓心，為半徑畫圓.

①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求證: 直線與相切；

②設(shè)與直線相交于兩點(diǎn)， 連結(jié). 問(wèn):是否存在這樣的點(diǎn)，使得是等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) 的直徑長(zhǎng)為；(2) ①見(jiàn)解析；②存在這樣的點(diǎn)和，使得是等腰直角三角形.

【解析】

（1）連接BC，證明△ABC為等腰直角三角形，則⊙P的直徑長(zhǎng)=BC=AB，即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明CE=ACsin45°=4×=2 =圓的半徑，即可求解；
（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得是等腰直角三角形，分點(diǎn)在線段上時(shí)和點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上兩種情況，分別求解即可．

（1）如圖3，連接BC，

∵∠BOC=90°，

∴點(diǎn)P在BC上，
∵⊙P與直線l1相切于點(diǎn)B，
∴∠ABC=90°，而OA=OB，
∴△ABC為等腰直角三角形，
則⊙P的直徑長(zhǎng)=BC=AB=3

(2)如圖4過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

圖4

將代入，得，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

∴，

∵，

∴.

∵點(diǎn)與點(diǎn)重合，

又的半徑為，

∴直線與相切.

②假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得是等腰直角三角形，

∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

∴的函數(shù)解析式為.

記直線與的交點(diǎn)為，

情況一：

如圖5，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，

由題意，得.

如圖，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，

圖5

∵，

∴，

即軸，

∴點(diǎn)與有相同的橫坐標(biāo)，

設(shè)，則，

∴.

∵的半徑為，

∴，

解得，

∴，

∴的坐標(biāo)為.

情況二：

當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得，的坐標(biāo)為.

∴存在這樣的點(diǎn)和，使得是等腰直角三角形.