Question

一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)是6，8，10，同時(shí)平分這個(gè)三角形周長(zhǎng)和面積的直線有（　�。�條．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：根據(jù)勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形．應(yīng)分情況討論：
（1）若直線過(guò)△ABC的某個(gè)頂點(diǎn)；
（2）若直線交△ABC的某兩條邊．

解答：解：（1）若直線過(guò)△ABC的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖，
假設(shè)直線過(guò)點(diǎn)A．如果直線平分△ABC的面積，則有BN=NC，此時(shí)，AC＞AB，
所以周長(zhǎng)相等不可能．同理直線過(guò)B、C也不存在；


（2）若直線交AB、BC于點(diǎn)M、N．如圖，
設(shè)BN=x，則BM=12-x，作MD⊥BC，
由Rt△MBD∽R(shí)t△ABC，可得MD=

8(12-x)

10

；
根據(jù)S_△MBN=

1

2

MD•BN=

1

2

S_△ABC，
得BN=6+

6

，BM=6-

6

，即這樣的直線存在，且只有一條，
綜上，同時(shí)平分這個(gè)三角形周長(zhǎng)和面積的直線有1條．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：此題主要分情況考慮．分析的時(shí)候，首先保證符合其中一個(gè)條件，再進(jìn)一步看是否滿足另一個(gè)條件．