Question

如圖，一次函數y=-

3

3

x+2

3

的圖象與坐標軸分別交于點 A和B兩點，將△AOB沿直線CD折起，使點A與點B重合，直線CD交AB于點D．
（1）求點C的坐標；
（2）在射線DC上求一點P，使得PC=AC，求出點P的坐標；
（3）在坐標平面內，是否存在點Q（除點C外），使得以A、D、Q為頂點的三角形與△ACD全等？若存在，請求出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理．

Answer 1

分析：（1）首先求出圖象與坐標軸交點坐標，進而借助勾股定理得出OC的長，即可得出C點坐標；
（2）當PC=AC=4，借助勾股定理得出OP的長即可得出答案；
（3）首先得出Q點坐標，進而利用當△ACD≌△DQ′A時，當△ACD≌△DQ″A時，當△ACD≌△AQD時，分別得出符合條件的點的坐標即可．

解答：解：（1）如圖1，連接BC．
∵一次函數y=-

3

3

x+2

3

的圖象與坐標軸分別交于點 A和B兩點，
當y=0，則x=6，當x=0，則y=2

3

，
∴A（6，0），B（0，2

3

）．
設OC=x，則AC=CB=6-x，
∵∠BOA=90°，
∴OB²+OC²=CB²，
（2

3

）²+x²=（6-x）²，
解得x=2，
∴C點坐標為：（2，0）；

（2）如圖1，∵AC=OA-OC=6-2=4，CO=2，
∴當PC=AC=4，
∴OP=

42-22

=2

3

，
∴P點坐標為：（0，-2

3

）；

（3）如圖2，
∵△AOB沿直線CD折起，使點A與點B重合，直線CD交AB于點D，
∴D點坐標為AB中點，∠CDA=90°，
∵A（6，0），B（0，2

3

），
∴D點坐標為：（3，

3

），
∴EC=3-2=1，DE=

3

，CD=2，
∴tan∠DCE=

3

，
∴∠DCE=60°，
∴∠DAC=30°，
當△ACD≌△DQ′A時，
∴∠Q′=∠Q′AO=60°，
∴AQ′=2，
∴AF=1，FQ′=

3

，
可得Q′橫坐標為：5，縱坐標為：-

3

，
∴Q′點坐標為；（5，-

3

）；
當△ACD≌△AQD時，
則D為QC中點，
∵D點坐標為（3，

3

），CE=1，
∴Q點橫坐標為：2+1+1=4，
∴Q點坐標為：（4，2

3

），
當△ACD≌△DQ″A時，
∵∠CAD=∠ADQ″，
∴AC

∥

.

DQ″，
∵AC=4，D點坐標為（3，

3

），
∴Q″點橫坐標為：3+4=7，
∴Q″點坐標為：（7，

3

），
綜上所述：所有符合條件的點Q的坐標為：（4，2

3

） （7，

3

）  （5，-

3

）．

點評：此題主要考查了一次函數綜合以及勾股定理的應用和全等三角形的性質等知識，利用分類討論得出是解題關鍵．