Question

如圖，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心的⊙O的半徑為

2

-1，直線l：y=-x-

2

分別與x軸、y軸交于A、C兩點，點B的坐標為（4，1），⊙B與x軸相切于點M．
（1）求點A的坐標及∠CAO的度數(shù)；
（2）⊙B以每秒1個單位長度的速度沿x軸負方向平移，那么經(jīng)過多長時間⊙B與⊙O第一次相切？
（3）在⊙B移動的同時，直線l繞點A順時針勻速旋轉(zhuǎn)．當⊙B第一次與⊙O相切時，直線l也恰好與⊙B第一次相切．問：直線AC繞點A每秒旋轉(zhuǎn)多少度？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)當y=0時，x=-

2

，得出A點坐標即可，再利用當x=0時，y=-

2

，得出OA=OC，進而求出∠CAO的度數(shù)；
（2）利用切線的性質(zhì)定理首先得出MN=t，OB₁=

2

-1+1=

2

，B₁N⊥AN，再利用勾股定理得出MN的長度即可；
（3）設(shè)⊙B平移到⊙B₁處與⊙O第一次相切時，直線l旋轉(zhuǎn)到l'恰好與⊙B₁第一次相切于點P，得出∠PAN=45°，進而求出∠1=90°，即可得出直線AC繞點A每秒順時針旋轉(zhuǎn)度數(shù)．

解答：解：（1）當y=0時，x=-

2

．
∴點A的坐標是（-

2

，0）．
∴OA=

2

．
當x=0時，y=-

2

．
∴OC=

2

．
∴OA=OC．
又∠AOC=90°．
∴∠CAO=∠ACO=

180°-90°

2

=45°．

（2）如圖，設(shè)⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，
⊙B₁與x軸相切于點N，連接B₁O、B₁N，
則MN=t，OB₁=

2

-1+1=

2

，B₁N⊥AN．
在Rt△OB₁N中，由勾股定理，得
ON=

OB12-B1N2

=

( 2 )2-12

=1．
∴MN=4-1=3，
即t=3．

（3）設(shè)⊙B平移到⊙B₁處與⊙O第一次相切時，直線l旋轉(zhuǎn)到l'恰好與⊙B₁第一次相切于點P，
連接B₁A、B₁P．
則B₁P⊥AP，
∴B₁P=B₁N．
∴∠PAB₁=∠NAB₁．
∵OA=OB₁=

2

，
∴∠AB₁O=∠NAB₁．
∴∠PAB₁=∠AB₁O．
∴PA∥B₁O．
在Rt△NOB₁中，
∵ON=B₁N，
∴∠B₁ON=45°，
∴∠PAN=45°，
∴∠1=90°．
360°-90°=270°，
∴直線AC繞點A每秒順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為270°÷3=90°．

點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及勾股定理和一次函數(shù)與坐標軸交點求法等知識，正確利用切線的性質(zhì)定理得出相關(guān)直線關(guān)系是解題關(guān)鍵．