Question

【題目】拋物線的對(duì)稱軸為直線，且頂點(diǎn)在軸上，與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，直線與直線相交于點(diǎn)．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

（2）點(diǎn)是（1）中圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線與直線交于點(diǎn)．試判斷是否為等腰三角形，并說明理由．

（3）作于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)從橫坐標(biāo)2013處運(yùn)動(dòng)到橫坐標(biāo)2019處時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）是等腰三角形，理由見解析；（3）點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為3．

【解析】

（1）由題意可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可設(shè)拋物線的頂點(diǎn)表達(dá)式，再將點(diǎn)A坐標(biāo)代入計(jì)算即可；

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，利用勾股定理可求得PB長，再利用P、D坐標(biāo)可求得PD長，進(jìn)而證得是等腰三角形；

（3）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則，先證得是的中位線，進(jìn)而可知點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，再通過點(diǎn)P橫坐標(biāo)的變化可求得CD的長度變化，進(jìn)而求得點(diǎn)E的路徑長．

（1）根據(jù)題意得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，

把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，解得，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為

（2）是等腰三角形；

理由：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D坐標(biāo)為，

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為，

∴，

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)D坐標(biāo)為，

∴，

∴，

∴是等腰三角形；

（3）如圖所示：

∵，，

∴，

即點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，

設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則，

∴，

∴點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，

∴是的中位線，

∴，，

∴點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，

∴當(dāng)的橫坐標(biāo)為2013時(shí)，，此時(shí)，

當(dāng)的橫坐標(biāo)為2019時(shí)，，此時(shí)，

∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為：．