Question

在平面直角坐標(biāo)系XOY中，一次函數(shù)y=x+3的圖象是直線l₁，l₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，直線l₂過(guò)點(diǎn)C（a，0）且與直線l1垂直，其中a＞0，點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，速度為每秒4個(gè)單位；點(diǎn)Q沿射線AO運(yùn)動(dòng)，速度為每秒5個(gè)單位。
（1）寫出A點(diǎn)的坐標(biāo)和AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)了多少秒時(shí)，以點(diǎn)Q為圓心，PQ為半徑的⊙Q與直線l₂、y軸都相切，求此時(shí)a的值。

Answer 1

解：（1）∵一次函數(shù)的圖象直線l1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)， ∴y=0時(shí)，x=-4， ∴A（-4，0），AO=4， ∴x=0時(shí)，y=3， ∴B（0，3），BO=3， ∴AB=5， ∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），AB的長(zhǎng)為5；

（2）由題意得：AP=4t，AQ=5t， ∴， 又∠PAQ=∠OAB， ∴△APQ∽△AOB， ∴∠APQ=∠AOB=90°， ∵點(diǎn)P在l1上， ∴⊙Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持與l2相切， ①當(dāng)⊙Q在y軸右側(cè)與y軸相切時(shí)，PQ=OQ， ∴AQ=AO+OQ=4+PQ 由△APQ∽△AOB得： ∴ ∴PQ=6； 設(shè)l2與⊙Q相切于E，連接QE，則 ∵⊙Q與和都相切， ∴QE=PQ=6， 由△QEC∽△APQ∽△AOB，得：， ∵ ∴ ∴， ②當(dāng)⊙Q在y軸的左側(cè)與y軸相切時(shí)，PQ=OQ， ∴AQ=AO-OQ=4-PQ 由△APQ∽△AOB得： ∴ ∴PQ=； 設(shè)l2與⊙Q相切于F，連接QF， 則∵⊙Q與l1和l2都相切， ∴QF=PQ=， 由△QFC∽△APQ∽△AOB，得：， ∴ ∴， ∴， ∴a的值為和。