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        1. 【題目】【問(wèn)題引入】 已知:如圖BE、CF是△ABC的中線,BE、CF相交于G.求證: = =

          證明:連結(jié)EF
          ∵E、F分別是AC、AB的中點(diǎn)
          ∴EF∥BC且EF= BC
          = = =
          【思考解答】
          (1)連結(jié)AG并延長(zhǎng)AG交BC于H,點(diǎn)H是否為BC中點(diǎn)(填“是”或“不是”)
          (2)①如果M、N分別是GB、GC的中點(diǎn),則四邊形EFMN 是四邊形. ②當(dāng) 的值為時(shí),四邊形EFMN 是矩形.
          ③當(dāng) 的值為時(shí),四邊形EFMN 是菱形.
          ④如果AB=AC,且AB=10,BC=16,則四邊形EFMN的面積S=

          【答案】
          (1)是
          (2)平行;1;;16
          【解析】解:(1)如圖,連結(jié)EF,交AG于O,
          ∵E、F分別是AC、AB的中點(diǎn),
          ∴EF是△ABC的中位線,
          ∴EF∥BC且EF= BC,
          = = = ,
          ∵OE∥BH,
          = =
          ∵OE∥CH,
          = = ,
          = ,
          ∴BH=CH,即點(diǎn)H是BC中點(diǎn);
          所以答案是:是;
          ·(2)①∵M(jìn)、N分別是GB、GC的中點(diǎn),
          ∴MN是△GBC的中位線,
          ∴MN∥BC且MN= BC,
          由(1)可得,EF∥BC且EF= BC,
          ∴EF∥MN,EF=MN,
          ∴四邊形EFMN是平行四邊形,
          所以答案是:平行;
          ②當(dāng)四邊形EFMN是矩形時(shí),F(xiàn)G=EG,
          = = ,
          ∴GB=GC,
          ∴∠GBC=∠GCB,
          又∵H是BC的中點(diǎn),
          ∴GH⊥BC,即AH⊥BC,
          ∴AH垂直平分BC,
          ∴AB=AC,
          的值為1,
          所以答案是:1;
          ③當(dāng)四邊形EFMN是菱形時(shí),MN=FM,
          ∵M(jìn)N是△BCG的中位線,
          ∴MN= BC,
          ∵FM是△ABG的中位線,
          ∴FM= AG,
          又∵G是△ABC的重心,
          ∴AG= AH,
          ∴FM= AG= AH,
          BC= AH,即2BC=3AH,
          的值為
          所以答案是: ;
          ④當(dāng)AB=AC時(shí),由②可得四邊形EFMN是矩形,AH⊥BC,
          ∵AB=10,BC=16,
          ∴BH= BC=8,AH=6,
          ∵M(jìn)N是△BCG的中位線,
          ∴MN= BC=8,
          ∵FM是△ABG的中位線,
          ∴FM= AG= AH=2,
          ∴矩形EFMN的面積S=FM×MN=2×8=16,
          所以答案是:16.
          【考點(diǎn)精析】掌握三角形中位線定理和平行線分線段成比例是解答本題的根本,需要知道連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線;三角形中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半;三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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