Question

如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=10cm，BC=6cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．
（1）出發(fā)2秒后，求△ABP的周長(zhǎng)．
（2）問(wèn)t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？
（3）另有一點(diǎn)Q，從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→B→A→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分？

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理AC=8cm和PB=2

10

cm，所以求出了三角形的周長(zhǎng)．
（2）利用分類討論的思想和等腰三角形的特點(diǎn)及三角形的面積求出答案．
（3）利用分類討論的思想和周長(zhǎng)的定義求出了答案．

解答：
解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴有勾股定理得AC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm
∴出發(fā)2秒后，則CP=2cm，那么AP=6cm．
∵∠C=90°，
∴有勾股定理得PB=2

10

cm
∴△ABP的周長(zhǎng)為：AP+PB+AB=6+10+2

10

=（16+2

10

）cm；

（2）若P在邊AC上時(shí)，BC=CP=6cm，
此時(shí)用的時(shí)間為6s，△BCP為等腰三角形；
若P在AB邊上時(shí)，有兩種情況：
①若使BP=CB=6cm，此時(shí)AP=4cm，P運(yùn)動(dòng)的路程為12cm，
所以用的時(shí)間為12s，故t=12s時(shí)△BCP為等腰三角形；
②若CP=BC=6cm，過(guò)C作斜邊AB的高，根據(jù)面積法求得高為4.8cm，
根據(jù)勾股定理求得BP=7.2cm，
所以P運(yùn)動(dòng)的路程為18-7.2=10.8cm，
∴t的時(shí)間為10.8s，△BCP為等腰三角形；
③若BP=CP時(shí)，則∠PCB=∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC
∴PA=PB=5cm
∴P的路程為13cm，所以時(shí)間為13s時(shí)，△BCP為等腰三角形．
∴t=13s或12s或 10.8s 時(shí)△BCP為等腰三角形；

（3）當(dāng)P點(diǎn)在AC上，Q在AB上，則AP=8-t，AQ=16-2t，
∵直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，
∴8-t+16-2t=12，
∴t=4；
當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q在AC上，則AP=t-8，AQ=2t-16，
∵直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，
∴t-8+2t-16=12，
∴t=12，
∴當(dāng)t為4或12秒時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分．

點(diǎn)評(píng)：考查了等腰三角形的判定，利用了勾股定理求出三角形的一條直角邊，還利用分類討論的思想求出所要求的答案．