Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3（a，b是常數(shù)）的圖象與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（1，0），與y軸交于點C．動直線y=t（t為常數(shù)）與拋物線交于不同的兩點P、Q．

（1）求a和b的值；
（2）求t的取值范圍；
（3）若∠PCQ=90°，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點A、點B的坐標代入可得： ，

解得：

（2）

解：拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3，直線y=t，

聯(lián)立兩解析式可得：x2+2x﹣3=t，即x2+2x﹣（3+t）=0，

∵動直線y=t（t為常數(shù)）與拋物線交于不同的兩點，

∴△=4+4（3+t）＞0，

解得：t＞﹣4

（3）

解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，

當x=0時，y=﹣3，∴C（0，﹣3）．

設點Q的坐標為（m，t），則P（﹣2﹣m，t）．

如圖，設PQ與y軸交于點D，則CD=t+3，DQ=m，DP=m+2．

∵∠PCQ=∠PCD+∠QCD=90°，∠DPC+∠PCD=90°，

∴∠QCD=∠DPC，又∠PDC=∠QDC=90°，

∴△QCD∽△CPD，

∴ ，即 ，

整理得：t2+6t+9=m2+2m，

∵Q（m，t）在拋物線上，∴t=m2+2m﹣3，∴m2+2m=t+3，

∴t2+6t+9=t+3，化簡得：t2+5t+6=0

解得t=﹣2或t=﹣3，

當t=﹣3時，動直線y=t經過點C，故不合題意，舍去．

∴t=﹣2

【解析】（1）將點A、點B的坐標代入二次函數(shù)解析式可求出a、b的值；（2）根據(jù)二次函數(shù)及y=t，可得出方程，有兩個交點，可得△＞0，求解t的范圍即可；（3）證明△QCD∽△CPD，利用相似三角形的對應邊成比例，可求出t的值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�