Question

【題目】從三角形一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，若分得的兩個小三角形中一個三角形為等腰三角形，另一個三角形的三個內角與原來三角形的三個內角分別相等，則稱這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”．

例如，等腰直角三角形斜邊上的高就是這個等腰直角三角形的一條“等角分割線”．

(1)如圖1，在△ABC中，D是邊BC上一點，若∠B=30°，∠BAD=∠C=40°，求證： AD為△ABC的“等角分割線”；

(2)如圖2，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°；

①畫出△ABC的“等角分割線”，寫出畫法并說明理由；

②若BC=3，求出①中畫出的“等角分割線”的長度．

(3)在△ABC中，∠A=24°，若△ABC存在“等角分割線”CD，直接寫出所有符合要求的∠B的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）①見解析②2（3）44°， 52°， 54°， 108°

【解析】

⑴根據題目中的已知角的度數(shù)可以得到∠BAD=∠C=40°，∠ADB=∠BAC=110°

又∠B=∠B，得出△ABD的三個內角與△ABC的三個內角的度數(shù)分別相等；根據三角形的外角求出∠ADC=70°，∠BAD+∠CAD=110°得到∠CAD=70°得出△ADC是等腰三角形，所以AD為△ABC的“等角分割線”.

⑵①依據“等角分割線”定義畫出即可，②AD平分∠BAC， ∠ACD=30°，設CD=x，則AD=BD=2x，BC=BD+CD=2x+x=3，即可求出AD=2x=2

⑶分△ACD是等腰三角形DA=DC,DA=AC和△BCD是等腰三角形DB=BC,DC=BD四種情況，根據內角和定理及三角形外角等于與它不相鄰的兩個內角的和計算即可.

(1)證明：∵∠B=30°，∠BAD=∠C=40°

∴∠ADB=∠BAC=110°

又∠B=∠B，

∴△ABD的三個內角與△ABC的三個內角的度數(shù)分別相等，

∵∠B=30°,∠BAD=40°，

∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°

又∵∠C=40°

∴∠DAC=70°=∠ADC

∴AC=CD

∴△ADC是等腰三角形，

∴AD為△ABC的“等角分割線”

(2)①畫法：如圖2，畫∠BAC的角平分線，交BC于點D，線段AD即為所求，

理由如下：

∵∠C=90°，∠B=30°

∴∠BAC=60°

∵AD平分∠BAC

∴∠DAC =∠BAD =30°=∠B

∴∠ADC=60°=∠BAC

又∵∠C=∠C=90°

∴△ADC的三個內角與△ABC的三個內角的度數(shù)分別相等，

∵∠BAD=∠B

∴AD=BD

∴△ABD是等腰三角形，

∴AD為△ABC△ABC的“等角分割線”

②設CD=x

∵△ADC中，∠C=90°，∠DAC=30°，

∴AD=2x，

∴BD=AD=2x

∵BC=3

∴x+2x=3

∴x=1

∴AD=2x=2；

(3) ①當△BCD為等腰三角形，DB=BC時，如下圖

∵DB=BC，△ABC∽△ACD

∴ ∠2=∠3，∠1=∠B

∵∠2=∠A+∠1，∠2+∠3+∠B=180°

∴ 2(∠A+∠1)+∠B=180°

∴ 2(24°+∠B)+∠B=180°

∴ ∠B=44°

②當△BCD是等腰三角形，DB=DC時，如下圖

∵DB=DC，△ABC∽△ACD

∴∠B=∠2,∠1=∠B

∵ ∠3=∠2+∠B，∠A+∠1+∠3=180°

∴ ∠A+∠1+∠3=24°+∠B+∠B+∠B=180°

∴ ∠B=52°

③當△ACD為等腰三角形，DA=CA時，如下圖

∠2+∠3=180°-∠A=180°-24°=156°

∠2=∠3=78°

∵△ABC∽△CBD

∴∠A=∠4=24°

∵ ∠B+∠4=∠3

∴∠B=54°

當△ACD為等腰三角形，DA=DC時，如下圖

∵ DA=DC

∴ ∠A=∠1=24°

∴ ∠2=∠A+∠1=48°

∵△ABC∽△CBD

∴ ∠B=∠2+∠3=∠2＋∠A=108°

44°， 52°， 54°， 108°．