Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，AC是對(duì)角線，AB＝6cm，BC＝8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，過點(diǎn)Q作QM∥AB交AC于點(diǎn)M，連接PM，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4）．解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，∠CPM＝90°；

（2）是否存在某一時(shí)刻t，使S四邊形MQCP＝？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P在∠CAD的角平分線上．

Answer 1

【答案】（1）t＝s時(shí)，∠CPM＝90°；（2）t＝3s時(shí)，S四邊形MQCP＝；（3）當(dāng)t＝s時(shí)，點(diǎn)P在∠CAD的平分線上．

【解析】

（1）首先證明QM=PC，利用平行線分線段成比例定理構(gòu)建方程即可解決問題．
（2）根據(jù)S四邊形MQCP＝，構(gòu)建方程即可解決問題．
（3）如圖1中，作PH⊥AC于H．證明△PAD≌△PAH（AAS），推出AD=AH=8，DP=PH，設(shè)DP=PH=x，在Rt△PCH中，構(gòu)建方程即可解決問題．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，∠D＝90°，

∴AC＝＝10，

∵∠CPM＝∠D＝90°，

∴PM∥AD，

∵QM∥AB∥CD，

∴四邊形PCQM是平行四邊形，

∴PC＝QM＝6﹣t，

∵＝，

∴＝，

解得t＝，

∴t＝s時(shí)，∠CPM＝90°．

（2）∵S四邊形MQCP＝，

∴（6﹣t）2t+2t×2t＝×6×8，

解得t＝3或﹣15（舍棄），

答：t＝3s時(shí)，S四邊形MQCP＝．

（3）如圖1中，作PH⊥AC于H．

∵∠D＝∠AHP＝90°，AP＝AP，∠PAD＝∠PAH，

∴△PAD≌△PAH（AAS），

∴AD＝AH＝8，DP＝PH，設(shè)DP＝PH＝x，

∵AC＝10，

∴CH＝2，

在Rt△PCH中，∵PH2+CH2＝PC2，

∴t2+22＝（6﹣t）2，

解得t＝，

答：當(dāng)t＝s時(shí)，點(diǎn)P在∠CAD的平分線上．