Question

如圖，將一張正方形紙片剪成四個小正方形，如圖（1）；然后再將其中的一個正方形剪成四個小正方形，此時共有7個正方形，如圖（2）；再將其中的一個正方形剪成四個小正方形，此時共有10個正方形，如圖（3）．按此操作繼續(xù)下去…

（1）根據(jù)以上操作方法，請你填寫下表：

操作次數(shù)n	1	2	3	4	5	…．
正方形的個數(shù)S	4	7	10

（2）用代數(shù)式表示正方形的個數(shù)S和操作次數(shù)n之間的關(guān)系；
（3）按此方法操作下去，正方形的個數(shù)能否為2010個？若能，請說出是經(jīng)過多少次操作后得到的；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：分別數(shù)出圖1、圖2、圖3中正方形的個數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)第幾個圖形中正方形的個數(shù)等于3與幾的乘積加1．如圖3中正方形的個數(shù)為10=3×3+1；按照這個規(guī)律即可求得正方形的個數(shù)S和操作次數(shù)n之間的關(guān)系；然后將2010代入，如果得數(shù)為整數(shù)，正方形的個數(shù)能為2010個；如果得數(shù)不是整數(shù)，正方形的個數(shù)不能為2010個．

解答：解：（1）圖1中正方形的個數(shù)為4=3×1+1；
圖2中正方形的個數(shù)為7=3×2+1；
圖3中正方形的個數(shù)為10=3×3+1；
…
可以發(fā)現(xiàn)：圖幾中正方形的個數(shù)等于3與幾的乘積加1．
可得，圖4、圖5中正方形的個數(shù)分別為13、16．

操作次數(shù)n	1	2	3	4	5	…．
正方形的個數(shù)S	4	7	10	13	16

（2）設(shè)正方形的個數(shù)為S，操作次數(shù)為n，按照（1）中的規(guī)律可得：S=3n+1．

（3）設(shè)經(jīng)過n次操作后，正方形的個數(shù)為2010個，則有3n+1=2010，
n=

2009

3

，
因為

2009

3

不是整數(shù)，所以不合題意，
所以按此方法操作下去，正方形的個數(shù)不能為2010個．

點評：此題主要考查學生對圖形變化類這個知識點的理解和掌握，解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題目中給出的圖形，數(shù)值等條件，認真分析，找到規(guī)律．此類題目難度一般偏大，屬于難題．