Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²-2x-4與直線y=x交于點A、B，M是拋物線上一個動點，連接OM．
（1）當(dāng)M為拋物線的頂點時，求△OMB的面積；
（2）當(dāng)點M在拋物線上，△OMB的面積為10時，求點M的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點M在直線AB的下方且在拋物線對稱軸的右側(cè)，M運動到何處時，△OMB的面積最大．

Answer 1

分析：（1）由y=x²-2x-4=（x-1）²-5，得到M的坐標(biāo)為（1，-5），解方程組

y=x2-2x-4 y=x

，得A（-1，-1）
B（4，4），過點M作y軸的平行線與AB交于點N，易得N（1，1），由S_△OBM=S_△OMN+S_△BMN即可得到答案．
（2）分類討論：①當(dāng)M在直線AB下方時，設(shè)M（x_m，x_m²-2x_m-4），則N（x_m，x_m），利S_△OMB=S_△OMN+S_△MNB=10，得到關(guān)于m的方程，解方程即可得到M的坐標(biāo)；②當(dāng)M在直線AB上方時，同理可得M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M（x_m，x_m²-2x_m-4），則N（x_m，x_m），通過面積公式得到S_△OMB=2（-x_m²+3x_m+4），根據(jù)二次函數(shù)的頂點式即可得到當(dāng)x=

3

2

時，S_△OMB有最大值．

解答：解：（1）∵y=x²-2x-4=（x-1）²-5，
∴當(dāng)M是頂點時，M的坐標(biāo)為（1，-5），
解方程組

y=x2-2x-4 y=x

，得A（-1，-1）B（4，4），
過點M作y軸的平行線與AB交于點N，易得N（1，1），如圖，
∴S_△OBM=S_△OMN+S_△BMN=

1

2

×6×1+

1

2

×6×3=12；

（2）①當(dāng)M在直線AB下方時，
設(shè)M（x_m，x_m²-2x_m-4），則N（x_m，x_m）
S_△OMB=S_△OMN+S_△MNB
=

1

2

×[xm-(

x

2 m

-2xm-4)]×xm+

1

2

×[xm-(

x

2 m

-2xm-4)]×(4-xm)=10(2分)
解得x1=

3- 5

2

，x2=

3+ 5

2

，即M₁（

3- 5

2

，

-7- 5

2

）、M₂（

3+ 5

2

，

-7+ 5

2

）；

②當(dāng)M在直線AB上方時，同理
M3(

3-3 5

2

，

13-3 5

2

)，M4(

3+3 5

2

，

13+3 5

2

)(2分)
縱上所述M₁（

3- 5

2

，

-7- 5

2

）、M₂（

3+ 5

2

，

-7+ 5

2

）；

M3(

3-3 5

2

，

13-3 5

2

)，M4(

3+3 5

2

，

13+3 5

2

)；

（3）設(shè)M（x_m，x_m²-2x_m-4），則N（x_m，x_m）
S△OMB=S△OMN+S△MNB=

1

2

×[xm-(

x

2 m

-2xm-4)]×xm+

1

2

×[xm-(

x

2 m

-2xm-4)]×(4-xm)
=

1

2

×[xm-(

x

2 m

-2xm-4)]×4
=2（-x_m²+3x_m+4）
=-2(xm-

3

2

)2+

25

2

(2分)
∴當(dāng)x=

3

2

時，S_△OMB有最大值．

點評：本題考查了二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)=a（x-h）²+k，其中h，k分別為頂點的橫縱坐標(biāo)．也考查了用坐標(biāo)表示線段的長以及求兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)的方法．