Question

規(guī)定：正整數(shù)n的“H運(yùn)算”是①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，H=3n+13；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，H=n×

1

2

×

1

2

×…（其中H為奇數(shù)）．
如：數(shù)3經(jīng)過(guò)1次“H運(yùn)算”的結(jié)果是22，經(jīng)過(guò)2次“H運(yùn)算”的結(jié)果是11，經(jīng)過(guò)3次“H運(yùn)算”的結(jié)果是46．
請(qǐng)解答：（1）數(shù)257經(jīng)過(guò)257次“H運(yùn)算”得到的結(jié)果．
（2）若“H運(yùn)算”②的結(jié)果總是常數(shù)a，求a的值．

Answer 1

分析：（1）按照①②運(yùn)算一次一次的輸入，得出它們的結(jié)果，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從第10次開(kāi)始偶數(shù)次等于1，奇數(shù)次等于16．從而求數(shù)257經(jīng)過(guò)257次“H運(yùn)算”得到的結(jié)果．
（2）對(duì)a的值分析可得a一定是個(gè)奇數(shù)，然后按照運(yùn)算①計(jì)算，并變成冪的形式即可得a的值．

解答：解：（1）1次=3×257+13=784
2次=784×0.5×0.5×0.5×0.5=49
3次=3×49+13=160
4次=160×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5=5
5次=3×5+13=28
6次=28×0.5×0.5=7
7次=3×7+13=34
8次=34×0.5=17
9次=3×17+13=64
10次=64×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5=1
11次=3×1+13=16
12次=16×0.5×0.5×0.5×0.5=1=第10次
所以從第10次開(kāi)始
偶數(shù)次等于1
奇數(shù)次等于16
257是奇數(shù)
所以第257次是16．
（2）若對(duì)一個(gè)正整數(shù)進(jìn)行若干次“H操作”后出現(xiàn)循環(huán)，
此時(shí)‘H’運(yùn)算的結(jié)果總是A，則A一定是個(gè)奇數(shù)．
那么，對(duì)A進(jìn)行H運(yùn)算的結(jié)果A×3+13是偶數(shù)，再對(duì)A×3+13進(jìn)行“H運(yùn)算”，即：
A×3+13乘以

1

2k

的結(jié)果仍是A
于是（A×3+13）×

1

2k

=A
也即A×3+13=A×2^k
即A（2^k-3）=13=1×13
因?yàn)锳是正整數(shù)
所以2^k-3=1或2^k-3=13
解得k=2或k=4
當(dāng)k=2時(shí)，A=13；
當(dāng)k=4時(shí)，A=1，
所以A為1或13．

點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，考出了學(xué)生的水平，學(xué)生一定要仔細(xì)應(yīng)對(duì)．