Question

如圖，在平面直角坐標系中，有一直角△ABC，且A（0，5），B（-5，2），C（0，2），并已知△AA₁C₁是由△ABC經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換得到的．
（1）問由△ABC旋轉(zhuǎn)得到的△AA₁C₁的旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是多少？并寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標；
（2）請你畫出仍以（1）中的旋轉(zhuǎn)中心為旋轉(zhuǎn)中心，將△AA₁C₁、△ABC分別按順時針、逆時針各旋轉(zhuǎn)90°的兩個三角形，并寫出變換后與A₁相對應點A₂的坐標；
（3）利用變換前后所形成圖案證明勾股定理（設△ABC兩直角邊為a、b，斜邊為c）．

Answer 1

分析：（1）圖象的旋轉(zhuǎn)可以利用某點的旋轉(zhuǎn)來找到旋轉(zhuǎn)的角度和旋轉(zhuǎn)中心；
（2）在解決題中第2問時，還需認真分析、觀察旋轉(zhuǎn)前后圖案的特征，并利用其面積關(guān)系來驗證勾股定理．
（3）利用正方形的面積的不同計算方法進行驗證勾股定理．

解答：解：（1）旋轉(zhuǎn)角為90°，中心坐標為（-1，1）；
（2）如圖，點A₁對應點A₂的坐標為（-2，-3）；
（3）證明：正方形AA₁A₂B面積c²，正方形C₁C₂C₃C的面積（b-a）²，
設AC=b，BC=a，
則c2-(b-a)2=4×

1

2

ba
c²-b²+2ab-a²=2ba
∴c²=b²+a²

點評：本題考查了如何利用旋轉(zhuǎn)來設計圖案，同時也是考查點的坐標變化．在一定程度上也可以認為是考查學生的動手操作的能力和空間想象的能力．