Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4，∠A=120°．動(dòng)點(diǎn)P、E、M分別從B、A、D三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E沿AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M沿DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，且它們的速度都為每秒2個(gè)單位．連接PE、PM、EM，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、E、M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒），△PEM的面積為S．
（1）判斷△PAE與△EDM是否全等，說明理由；
（2）連接BD，求證：△EPM∽△ABD；
（3）求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出△PEM的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于P、E、M三點(diǎn)的速度相同，因此AP=ED、AE=DM，而等腰梯形ABCD的兩底角∠A=∠EDM，由此可證得所求的兩個(gè)三角形全等．
（2）首先由（1）的全等三角形證得：PE=EM，∠AEP=∠EMD，根據(jù)∠DEM+∠DME=60°，可證得∠AEP+∠DEM=60°，即∠PEM=120°=∠BAD，兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，則它們必相似，由此得證．
（3）此題可通過相似三角形的性質(zhì)求解，已知了△EPM∽△ABD，只需求得它們相似比的平方即可得到兩個(gè)三角形的面積比，分別過B、P作AD的垂線，設(shè)垂足為F、G，易知∠BAF=60°，即可求得BF、PG、AG的值，進(jìn)而可表示出△BAD的面積，在Rt△PGE中，利用勾股定理可得PE2的表達(dá)式，聯(lián)立BA2的值，即可得到兩個(gè)三角形的面積比，從而求得△PEM的面積，也就得到了關(guān)于y、x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求得y的最小值及對(duì)應(yīng)的x的值．

解答：（1）解：△PAE≌△EDM，
理由如下：
根據(jù)題意，得BP=AE=DM=2t，
∵AB=AD=DC=4，∴AP=DE=4-2t（1分）
∵在梯形ABCD中，AB=DC，
∴∠PAE=∠EDM；（2分）
又AP=DE，AE=DM，
∴△PAE≌△EDM．（3分）

（2）證明：∵△PAE≌△EDM，
∴PE=EM，∠1=∠2（4分）
∵∠3+∠2=∠1+∠BAD，
∴∠3=∠BAD；（5分）
∵AB=AD，∴

PE

BA

=

EM

AD

；（6分）
∴△EPM∽△ABD．（7分）

（3）解：過B點(diǎn)作BF⊥AD，交DA的延長(zhǎng)線于F，過P點(diǎn)作PG⊥AD交于G；
在Rt△AFB中，∠4=180°-∠BAD=180°-120°=60°，
∴BF=AB•sin∠4=4•sin60°=2

3

，
∴S_△ABD=

1

2

AD•BF=

1

2

×4×2

3

=4

3

．（8分）
在Rt△APG中，PG=AP•sin∠4=（4-2t）•sin60°=（2-t）

3

．
AG=AP•cos∠4=（4-2t）•cos60°=2-t，
∴GE=AG+AE=2-t+2t=2+t．
∴PE2=PG2+GE2=[(2+t)

3

]2+（2+t）²=4t²-8t+16．
∵△EPM∽△ABD，∴

SEPM

SABD

=(

PE

BA

)2=

PE2

BA2

=

4t2-8t+16

42

=

t2-2t+4

4

，（9分）
∴S_△EPM=4

3

•

t2-2t+4

4

=

3

t2-2

3

t+4

3

；
∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=

3

t2-2

3

t+4

3

．（0≤t≤2）（10分）
∵S=

3

(t2-2t+4)=

3

(t-1)2+3

3

，

3

＞0，
∴當(dāng)t=1，S有最小值，最小值為3

3

．（12分）
另一解法（略解）
在Rt△APG中，PG=AP•sin∠4=（4-2t）•sin60°=（2-t）

3

．
AG=AP•cos∠4=（4-2t）•cos60°=2-t．
在Rt△MFD中，F(xiàn)M=DM•sin∠MDF=2t•sin60°=

3

t，DF=DM•cos∠MDF=2t•cos60°=t．
∴GF=AG+AD+DF=2-t+4+t=6，GE=AG+AE=2-t+2t=2+t，
EF=ED+DF=4-2t+t=4-t；
∴S_△EPM=S_梯形PGFD-S_△AGP-S_△EFM
=

1

2

[(2-t)

3

+

3

t]•6-

1

2

(2-t)

3

×(2+t)-

1

2

(4-t)×

3

t=

3

t2-2

3

t+4

3

．（0≤t≤2）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)，以及二次函數(shù)最值的應(yīng)用，難度較大．