Question

（2013•陜西）問(wèn)題探究：
（1）請(qǐng)?jiān)趫D①中作出兩條直線，使它們將圓面四等分；
（2）如圖②，M是正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D②中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過(guò)點(diǎn)M）使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說(shuō)明理由．
問(wèn)題解決：
（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在邊BC上是否存在一點(diǎn)Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？如若存在，求出BQ的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）畫(huà)出互相垂直的兩直徑即可；
（2）連接AC、BD交于O，作直線OM，分別交AD于P，交BC于Q，過(guò)O作EF⊥OM交DC于F，交AB于E，則直線EF、OM將正方形的面積四等份，根據(jù)三角形的面積公式和正方形的性質(zhì)求出即可；
（3）當(dāng)BQ=CD=b時(shí)，PQ將四邊形ABCD的面積二等份，連接BP并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，證△ABP≌△DEP求出BP=EP，連接CP，求出S_△BPC=S_△EPC，作PF⊥CD，PG⊥BC，由BC=AB+CD=DE+CD=CE，求出S_△BPC-S_△CQP+S_△ABP=S_△CPE-S_△DEP+S_△CQP，即可得出S_{四邊形ABQP}=S_{四邊形CDPQ}即可．

解答：解：（1）如圖1所示，

（2）連接AC、BD交于O，作直線OM，分別交AD于P，交BC于Q，過(guò)O作EF⊥OM交DC于F，交AB于E，
則直線EF、OM將正方形的面積四等份，
理由是：∵點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)稱中心，
∴AP=CQ，EB=DF，
在△AOP和△EOB中
∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE，
∴∠AOP=∠BOE，
∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，
∴△AOP≌△EOB，
∴AP=BE=DF=CQ，
設(shè)O到正方形ABCD一邊的距離是d，
則

1

2

（AP+AE）d=

1

2

（BE+BQ）d=

1

2

（CQ+CF）d=

1

2

（PD+DF）d，
∴S_{四邊形AEOP}=S_{四邊形BEOC}=S_{四邊形CQOF}=S_{四邊形DPOF}，
直線EF、OM將正方形ABCD面積四等份；

（3）存在，當(dāng)BQ=CD=b時(shí)，PQ將四邊形ABCD的面積二等份，
理由是：如圖③，連接BP并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠EDP，
∵在△ABP和△DEP中

∠A=∠EDP AP=DP ∠APB=∠DPE

∴△ABP≌△DEP（ASA），
∴BP=EP，
連接CP，
∵△BPC的邊BP和△EPC的邊EP上的高相等，
又∵BP=EP，
∴S_△BPC=S_△EPC，
作PF⊥CD，PG⊥BC，則BC=AB+CD=DE+CD=CE，
由三角形面積公式得：PF=PG，
在CB上截取CQ=DE=AB=a，則S_△CQP=S_△DEP=S_△ABP
∴S_△BPC-S_△CQP+S_△ABP=S_△CPE-S_△DEP+S_△CQP
即：S_{四邊形ABQP}=S_{四邊形CDPQ}，
∵BC=AB+CD=a+b，
∴BQ=b，
∴當(dāng)BQ=b時(shí)，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形性質(zhì)，菱形性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，注意：等底等高的三角形的面積相等．