Question

如圖，在等邊△ABC中，AB=6，AN=2，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是

 

．

Answer 1

分析：要求BM+MN的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化BM，MN的值，從而找出其最小值求解．

解答：解：連接CN，與AD交于點(diǎn)M．則CN就是BM+MN的最小值．
取BN中點(diǎn)E，連接DE．
∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，AN=2，
∴BN=AC-AN=6-2=4，
∴BE=EN=AN=2，
又∵AD是BC邊上的中線，
∴DE是△BCN的中位線，
∴CN=2DE，CN∥DE，
又∵N為AE的中點(diǎn)，
∴M為AD的中點(diǎn)，
∴MN是△ADE的中位線，
∴DE=2MN，
∴CN=2DE=4MN，
∴CM=

3

4

CN．
在直角△CDM中，CD=

1

2

BC=3，DM=

1

2

AD=

3 3

2

，
∴CM=

CD2+MD2

=

3

2

7

，
∴CN=

4

3

×

3

2

7

=2

7

．
∵BM+MN=CN，
∴BM+MN的最小值為2

7

．
故答案為：2

7

．

點(diǎn)評(píng)：考查等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．