Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（0，6），點B是x軸上的一個動點，連接AB，取AB的中點M，將線段MB繞著點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BC．過點B作x軸的垂線交直線AC于點D．設(shè)點B坐標(biāo)是（t，0）．
（1）當(dāng)t=4時，求直線AB的解析式；
（2）當(dāng)t＞0時，用含t的代數(shù)式表示點C的坐標(biāo)及△ABC的面積；
（3）是否存在點B，使△ABD為等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點B的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t=4時，B（4，0），設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．把A（0，6），B（4，0）代入解析式即可求出未知數(shù)的值，從而求出其解析式；
（2）過點C作CE⊥x軸于點E，由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC．即

BE

AO

=

CE

BO

=

BC

AB

=

1

2

，BE=

1

2

AO=3，CE=

1

2

OB=

t

2

故點C的坐標(biāo)為（t+3，

t

2

）．由于AB⊥BC，AB=2BC，∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=BC²．在Rt△EBC中，由勾股定理得BC²=CE²+BE²=

1

4

t²+9，即S_△ABC=

1

4

t²+9．
（3）①當(dāng)t≥0時Ⅰ，若AD=BD．由于BD∥y軸，故∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，所以∠OAB=∠BAD．因為∠AOB=∠ABC，所以△ABO∽△ACB，故

OB

AO

=

BC

AB

=

1

2

，即

t

6

=

1

2

，∴t=3，即B（3，0）．
Ⅱ．若AB=AD．延長AB與CE交于點G，由于BD∥CG∴AG=AC過點A畫AH⊥CG于H．CH=HG=

1

2

CG，由△AOB∽△GEB，
得

GE

BE

=

AO

OB

，故GE=

18

t

．由于HE=AO=6，CE=

t

2

，t²-24t-36=0，解得：t=12±6

5

．因為t≥0，所以t=12+6

5

，即B（12+6

5

，0）．
Ⅲ．由已知條件可知，當(dāng)0≤t＜12時，∠ADB為頓角，故BD≠AB．當(dāng)t≥12時，BD≤CE＜BC＜AB．故當(dāng)t≥0時，不存在BD=AB的情況．
②當(dāng)-3≤t＜0時，如圖，∠DAB是鈍角．設(shè)AD=AB過點C分別作CE⊥x軸，CF⊥y軸于點E，點F．可求得點C的坐標(biāo)為（t+3，

t

2

），
∴CF=OE=t+3，AF=6-

t

2

，由BD∥y軸，AB=AD得，∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB故∠BAO=∠FAC，
又∵∠AOB=∠AFC=90°，∴△AOB∽△AFC，∴

BO

CF

=

AO

AF

，求得t的關(guān)系式t²-24t-36=0，解得：t=12±6

5

．因為-3≤t＜0，所以t=12-6

5

，即B（12-6

5

，0）．
③當(dāng)t＜-3時，如圖，∠ABD是鈍角．設(shè)AB=BD，過點C分別作CE⊥x軸，CF⊥y軸于點E，點F，可求得點C的坐標(biāo)（t+3，

t

2

），故CF=-（t+3），AF=6-

t

2

，由于AB=BD，故∠D=∠BAD．又因為BD∥y軸，故∠D=∠CAF，∠BAC=∠CAF．又因為∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，所以△ABC≌△AFC，故AF=AB，CF=BC，∴AF=2CF，即6-

t

2

=-2（t+3），解得：t=-8，即B（-8，0）．

解答：解：（1）當(dāng)t=4時，B（4，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．
把A（0，6），B（4，0）代入得：

b=6 4k+b=0

，
解得：

k=- 3 2 b=6

，
∴直線AB的解析式為：y=-

3

2

x+6．

（2）過點C作CE⊥x軸于點E，
由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC．
∴

BE

AO

=

CE

BO

=

BC

AB

=

1

2

，
∴BE=

1

2

AO=3，CE=

1

2

OB=

t

2

，
∴點C的坐標(biāo)為（t+3，

t

2

）．
方法一：
S_梯形AOEC=

1

2

OE•（AO+EC）=

1

2

（t+3）（6+

t

2

）=

1

4

t²+

15

4

t+9，
S_△AOB=

1

2

AO•OB=

1

2

×6•t=3t，
S_△BEC=

1

2

BE•CE=

1

2

×3×

t

2

=

3

4

t，
∴S_△ABC=S_梯形AOEC-S_△AOB-S_△BEC
=

1

4

t²+

15

4

t+9-3t-

3

4

t
=

1

4

t²+9．

方法二：
∵AB⊥BC，AB=2BC，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=BC²．
在Rt△EBC中，BC²=CE²+BE²=

1

4

t²+9，
即S_△ABC=

1

4

t²+9．

（3）存在，理由如下：
①當(dāng)t≥0時，
Ⅰ．若AD=BD，
又∵BD∥y軸，
∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，
∴∠OAB=∠BAD，
又∵∠AOB=∠ABC，
∴△ABO∽△ACB，
∴

OB

AO

=

BC

AB

=

1

2

，
∴

t

6

=

1

2

，
∴t=3，即B（3，0）．
Ⅱ．若AB=AD．
延長AB與CE交于點G，
又∵BD∥CG，
∴AG=AC，
過點A畫AH⊥CG于H．
∴CH=HG=

1

2

CG，
由△AOB∽△GEB，
得

GE

BE

=

AO

OB

，
∴GE=

18

t

．
又∵HE=AO=6，CE=

t

2

，
∴

18

t

+6=

1

2

×（

t

2

+

18

t

），
∴t²-24t-36=0，
解得：t=12±6

5

．因為t≥0，
所以t=12+6

5

，即B（12+6

5

，0）．
Ⅲ．由已知條件可知，當(dāng)0≤t＜12時，∠ADB為鈍角，故BD≠AB．
當(dāng)t≥12時，BD≤CE＜BC＜AB．
∴當(dāng)t≥0時，不存在BD=AB的情況．
②當(dāng)-3≤t＜0時，如圖，∠DAB是鈍角．設(shè)AD=AB
過點C分別作CE⊥x軸，CF⊥y軸于點E，點F．
可求得點C的坐標(biāo)為（t+3，

t

2

），
∴CF=OE=t+3，AF=6-

t

2

，
由BD∥y軸，AB=AD得，
∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB，
∴∠BAO=∠FAC，
又∵∠AOB=∠AFC=90°，
∴△AOB∽△AFC，
∴

BO

CF

=

AO

AF

，
∴

-t

t+3

=

6

6- t 2

，
∴t²-24t-36=0，
解得：t=12±6

5

．因為-3≤t＜0，
所以t=12-6

5

，即B（12-6

5

，0）．
③當(dāng)t＜-3時，如圖，∠ABD是鈍角．設(shè)AB=BD，
過點C分別作CE⊥x軸，CF⊥y軸于點E，點F，
可求得點C的坐標(biāo)為（t+3，

t

2

），
∴CF=-（t+3），AF=6-

t

2

，
∵AB=BD，
∴∠D=∠BAD．
又∵BD∥y軸，
∴∠D=∠CAF，
∴∠BAC=∠CAF．
又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，
∴△ABC≌△AFC，
∴AF=AB，CF=BC，
∴AF=2CF，即6-

t

2

=-2（t+3），
解得：t=-8，即B（-8，0）．
綜上所述，存在點B使△ABD為等腰三角形，
此時點B坐標(biāo)為：B₁（3，0），B₂（12+6

5

，0），B₃（12-6

5

，0），B₄（-8，0）．

點評：本題比較繁瑣，難度很大，解答此題的關(guān)鍵是畫出圖形作出輔助線，結(jié)合等腰三角形，全等三角形的判定及性質(zhì)解答．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在解題中的重要作用．