Question

【題目】我們不妨約定：在直角△ABC中，如果較長(zhǎng)的直角邊的長(zhǎng)度為較短直角邊長(zhǎng)度的兩倍，則稱直角△ABC為黃金三角形

（1）已知：點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（2，0），下列y軸正半軸上的點(diǎn)能與點(diǎn)O，點(diǎn)A構(gòu)成黃金三角形的有　　；填序號(hào)①（0，1）；②（0，2）；③（0，3），④（0，4）；

（2）已知點(diǎn)P（5，0），判斷直線y=2x-6在第一象限是否存在點(diǎn)Q，使得△OPQ是黃金三角形，若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由；

（3）已知：反比例函數(shù)與直線y=-x+m+1交于M，N兩點(diǎn)，若在x軸上有且只有一個(gè)點(diǎn)C，使得∠MCN=90，求m的值，并判斷此時(shí)△MNC是否為黃金三角形．

Answer 1

【答案】（1）①④；（2）Q坐標(biāo)為（5，4）；（3）是黃金三角形

【解析】

（1）根據(jù)黃金三角形的定義即可判斷．
（2）假設(shè)存在．設(shè)Q(m,2m6)，分兩種情形分別求解即可．
（3）設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，MN的中點(diǎn)為k，當(dāng)點(diǎn)K到x軸的距離等于時(shí)，滿足條件．根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，構(gòu)建方程求出m即可判斷．

解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)（0，0），點(diǎn)（2，0），根據(jù)黃金三角形的定義可知在y軸正半軸上的點(diǎn)

與原點(diǎn)的線段長(zhǎng)度為1或者4，故結(jié)合題目可知與點(diǎn)，點(diǎn)構(gòu)成黃金三角形的有或，故答案為①④．

（2）假設(shè)存在．設(shè)，

是直角三角形，當(dāng)是直角三角形時(shí)，，

，解得：和4，

點(diǎn)在第一象限，，，

，，，是黃金三角形，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿足黃金三角形的定義．

滿足條件點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為．

（3）設(shè)，，，，的中點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)到軸的距離等于 時(shí)，滿足條件．

由，消去得到：，

，，．，

，，，

整理得：，，

如圖，作軸于．

直線的解析式為，

，，

，，

，，

，不是黃金三角形．