Question

（2013•延安二模）定義[a，b，c]為函數(shù)y=ax²+bx+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[2m，1-m，-1-m]的函數(shù)的一些結(jié)論，其中不正確的是（　　）

• A．當(dāng)m=-3時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

  1

  3

  ，

  8

  3

  ）
• B．當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)度大于

  3

  2

• C．當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)
• D．當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)在x＞

  1

  4

  時(shí)，y隨x的增大而減小

Answer 1

分析：A、把m=-3代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式解答即可；
B、令函數(shù)值為0，求得與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式解決問題；
C、首先求得對(duì)稱軸，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；
D、根據(jù)特征數(shù)的特點(diǎn)，直接得出x的值，進(jìn)一步驗(yàn)證即可解答．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)y=ax²+bx+c的特征數(shù)為[2m，1-m，-1-m]；
A、當(dāng)m=-3時(shí)，y=-6x²+4x+2=-6（x-

1

3

）²+

8

3

，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

1

3

，

8

3

）；此結(jié)論正確；
B、當(dāng)m＞0時(shí)，令y=0，有2mx²+（1-m）x+（-1-m）=0，解得：x₁=1，x₂=-

1

2

-

1

2m

，
|x₂-x₁|=

3

2

+

1

2m

＞

3

2

，所以當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)度大于

3

2

，此結(jié)論正確；
C、當(dāng)x=1時(shí)，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m）=2m+（1-m）+（-1-m）=0 即對(duì)任意m，函數(shù)圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1，0）那么同樣的：當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)圖象都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)（1，0），當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)（1，0），故當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過x軸上一個(gè)定點(diǎn)此結(jié)論正確．
根據(jù)上面的分析，①②④都是正確的，③是錯(cuò)誤的．
D、當(dāng)m＜0時(shí)，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m） 是一個(gè)開口向下的拋物線，其對(duì)稱軸是：

m-1

4m

，在對(duì)稱軸的右邊y隨x的增大而減�。�因?yàn)楫?dāng)m＜0時(shí)，

m-1

4m

=

1

4

-

1

4m

＞

1

4

，即對(duì)稱軸在x=

1

4

右邊，因此函數(shù)在x=

1

4

右邊先遞增到對(duì)稱軸位置，再遞減，此結(jié)論錯(cuò)誤；
故選D．

點(diǎn)評(píng)：此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式，以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．