Question

（2012•海曙區(qū)模擬）如圖，一次函數(shù)y₁=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y2=

k

x

的圖象交于A，B兩點，已知OA=

10

，tan∠AOC=

1

3

，點B的坐標(biāo)為（-

3

2

，m），連接OB．
（1）求反比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）作AE⊥x軸于E，根據(jù)正切的定義有tan∠AOC=

1

3

=

AE

OE

，可設(shè)AE=a，則OE=3a，利用勾股定理計算出OA=

10

a，而OA=

10

，則a=1，得到A點坐標(biāo)為（3，1），然后把A（3，1）代入y₂=

k

x

，求出k=1×3=3，從而確定反比例函數(shù)的解析式；把B（-

3

2

，m）代入y₂=

3

x

得到m=-2，確定B點坐標(biāo)為（-

3

2

，-2），再把A（3，1）、B（-

3

2

，-2）代入y₁=ax+b得到k、b的方程組，解方程組得到k與b的值，于是可確定一次函數(shù)的解析式；
（2）對于y₁=

2

3

x-1，令x=0，則y=-1，得到D點坐標(biāo)為（0，-1），然后利用S_△AOB=S_△ODB+S_△ODA進行計算即可．

解答：解：（1）過A點作AE⊥x軸于E，如圖，
在Rt△OAE中，tan∠AOC=

1

3

=

AE

OE

，
設(shè)AE=a，則OE=3a，
OA=

OE2+AE2

=

(3a)2+a2

=

10

a，
而OA=

10

，
∴a=1，
∴AE=1，OE=3，
∴A點坐標(biāo)為（3，1），
把A（3，1）代入y₂=

k

x

，得k=1×3=3，
∴反比例函數(shù)的解析式為y₂=

3

x

；
把B（-

3

2

，m）代入y₂=

3

x

得-

3

2

m=3，
解得m=-2，
∴B點坐標(biāo)為（-

3

2

，-2），
把A（3，1）、B（-

3

2

，-2）代入y₁=ax+b得

3k+b=1 - 3 2 k+b=-2

，
解得

k= 2 3 b=-1

，
∴一次函數(shù)的解析式為y₁=

2

3

x-1；

（2）∵對于y₁=

2

3

x-1，令x=0，則y=-1，
∴D點坐標(biāo)為（0，-1），
∴S_△AOB=S_△ODB+S_△ODA=

1

2

×1×

3

2

+

1

2

×1×3=

9

4

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點在函數(shù)圖象上，則點的橫縱坐標(biāo)滿足圖象的解析式；利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；運用三角函數(shù)的定義和勾股定理計算線段的長度．