Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是，且經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．

（1）①直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②求拋物線解析式．

（2）若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1） B的坐標(biāo)為（1，0）．y=-x2-x+2．（2）4， P（-2，3）．

【解析】

試題分析：（1）①先求的直線y=x+2與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用拋物線的對稱性可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；②設(shè)拋物線的解析式為y=y=a（x+4）（x-1），然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求得a的值；

（2）設(shè)點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)為m，分別求得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)，從而可得到線段PQ=-m2-2m，然后利用三角形的面積公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時(shí)m的值，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

試題解析：（1）①y=x+2當(dāng)x=0時(shí)，y=2，當(dāng)y=0時(shí)，x=-4，

∴C（0，2），A（-4，0），

由拋物線的對稱性可知：點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x=-對稱，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．

②∵拋物線y=ax2+bx+c過A（-4，0），B（1，0），

∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x+4）（x-1），

又∵拋物線過點(diǎn)C（0，2），

∴2=-4a

∴a=-

∴y=-x2-x+2．

（2）設(shè)P（m，-m2-m+2）．

過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q，

∴Q（m，m+2），

∴PQ=-m2-m+2-（m+2）

=-m2-2m，

∵S△PAC=×PQ×4，

=2PQ=-m2-4m=-（m+2）2+4，

∴當(dāng)m=-2時(shí)，△PAC的面積有最大值是4，

此時(shí)P（-2，3）．