Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)M（0，1）為圓心，以2長(zhǎng)為半徑作⊙M交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于C，D兩點(diǎn)，連接AM并延長(zhǎng)交⊙M于P點(diǎn)，連接PC交x軸于E．
（1）求證：點(diǎn)P是的中點(diǎn)；
（2）求直線PC的函數(shù)解析式，
（3）求的值．

Answer 1

證明：（1）連接PD、PB，如圖所示：
由題中條件可得CD、PA是⊙M的直徑，∴AM=2，MO=1，
∴∠MAO=30°，∠AMO=∠DMP=60°，
又∠DCP=∠DMP=30°，
∴∠PAB=∠DCP=30°，
∴=，即點(diǎn)P是的中點(diǎn)．

（2）由已知條件可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1），
在△ABP中，由∠ABP=90°，即BP⊥AB，又M（0，1）
可得PB=2，
在△BOM中，可得OB=，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2）
設(shè)PC的解析式為y=ax+b，
代入點(diǎn)P、C的坐標(biāo)可得y=x-1．

（3）由于=，∴∠APC=∠EAC，
又∠ACE為公共角，
∴△ACE∽△PCA，又點(diǎn)M、C關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，所以AM=AC．
==，
∴=（）²=．
分析：（1）要求與相等，即求解兩弧所對(duì)應(yīng)的角相等即可；
（2）可先設(shè)出線段的解析式，再求出點(diǎn)P、C的坐標(biāo)，代入即可；
（3）由題中條件不難得出△ACE∽△PCA，其面積比即為對(duì)應(yīng)邊的平方比．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓弧的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)問題，其中涉及待定系數(shù)求一次函數(shù)的問題，以及相似三角形的面積與邊長(zhǎng)之間的關(guān)系問題，能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)與圓、坐標(biāo)熟練地結(jié)合起來，從而熟練求解．