Question

如圖，已知在□ABCD中，AB⊥AC，AB=OA，BC=,對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC、AD于點(diǎn)EF.

（1）證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）試證明在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AF與EC總保持相等；

（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果可能，說(shuō)明理由并求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù).

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可證明四邊形ABEF為平行四邊形；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得△AOF≌△COE即可；（3）45度.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可證明四邊形ABEF為平行四邊形；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得△AOF≌△COE即可；

（3）EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF為菱形，可根據(jù)勾股定理求得AC=2，則OA=1=AB，又AB⊥AC，即可求得結(jié)果．

（1）當(dāng)∠AOF=90°時(shí)，AB∥EF，

又∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF為平行四邊形．

（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，

在△AOF和△COE中

∵∠FAO=∠ECO，AO=CO，∠AOF=∠ECO

∴△AOF≌△COE（ASA）

∴AF=EC；

（3）四邊形BEDF可以是菱形．

理由：如圖，連接BF，DE

由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，

∴EF與BD互相平分．

∴當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF為菱形．

在Rt△ABC中，

∴OA=1=AB，

又∵AB⊥AC，

∴∠AOB=45°，

∴∠AOF=45°，

∴AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，四邊形BEDF為菱形．

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理

點(diǎn)評(píng)：本題知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，是中考常見題，難度不大，學(xué)生需熟練掌握平面圖形的基本概念.