Question

已知等腰梯形ABOC在直角坐標(biāo)系中如圖所示，AB∥OC，OB=2，OA=2

3

．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，O，C的拋物線解析式；
（3）若點(diǎn)P為（2）中所求拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)剿魇欠翊嬖邳c(diǎn)P和點(diǎn)Q，使得以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出所有對(duì)應(yīng)的P，Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先分別求出過(guò)點(diǎn)A的圓的方程和直線OC的方程，再由兩個(gè)方程求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可．
（2）本題需把B，O，C的坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式，即可求出結(jié)果．
（3）本題需先求出構(gòu)成平很四邊形的直線PQ的解析式，再根據(jù)解析式用b表示出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再求出b的值從而得出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵ABOC等腰梯形，
∴|AC|=|BO|=2，
k_AB=

2 3 -0

0-(-2)

=

3

，
于是設(shè)過(guò)A點(diǎn)的圓為：x²+(y-2

3

)2=2²，①
直線OC的方程為y=

3

x，②
由①②解得x=1，x=2（舍去，不能構(gòu)成等腰梯形），
∴y=

3

，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，

3

）；

（2）將0（0，0）B（-2，0）C（1，

3

）代入y=ax²+bx+c得方程組：

0=a02+b0+c 0=a(-2)2-2b+c 3 =a•12+b+c

，
解得：a=

3

3

，b=

2 3

3

，c=0，
∴y=

3

3

x²+

2 3

3

x；

（3）∵B（-2，0）C（1，

3

），
∴k_BC=

3

1+2

=

3

3

，
|BC|=

3 2+(1+2)2

=2

3

，
于是構(gòu)成平行四邊形的直線PQ為y=

3

3

x+b，①
y=

3

3

x2+

2 3

3

x，②
由①②得：
x_1，2=

-1± 1+4 3 b

2

；
y_1，2=

- 3 +6b± 3 1+4 3b

6

為P點(diǎn)的坐標(biāo)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，b），
|PQ|²=|BC|²=（

-1± 1+4 3 b

2

-0）+（=

- 3 +6b± 3 1+4 3b

6

-b）²=12，
解得b=2

3

和b=4

3

，
當(dāng)b=2

3

時(shí)，x，=-3，y=

3

或x=2，y=

8 3

3

，
當(dāng)b=4

3

時(shí)，x=-4，y=

8 3

3

或x=3，y=5

3

，
經(jīng)檢驗(yàn)P₁（-3，

3

），P₂（3，5

3

）符合題意要求，
對(duì)P₁，將x=0代入y=

3

3

x+2

3

，
對(duì)P₂，將x=0代入y=y=

3

3

x+4

3

，
于是和Q₁（0，

3

），Q₂（0，4

3

）可以構(gòu)成兩個(gè)平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在解題時(shí)要注意二次函數(shù)的解析式的求法以及等腰梯形和平行四邊形的性質(zhì)相結(jié)合．