Question

（本題10分）如圖直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2，AB＝8，CD＝10．
(1)求BC的長；
(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿B→A→D方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿C→D方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；過點(diǎn)Q作QF⊥BC于點(diǎn)F．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問：在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E
∵四邊形ABCD是直角梯形      ∴四邊形ABED是矩形
∴AD=BE=2，AB=DE=8…………………（1分）
在Rt△DEC中，CE==="6" …………………（2分）
∴BC ="8." …………………（3分）
（2）（i）當(dāng)0≤t≤8時(shí)，過點(diǎn)Q      作QG⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)Q作QF⊥CB于點(diǎn)F。
∵BP=t，CQ=t，      ∴AP=8－t，DQ=10－t，…………（4分）
∵DE⊥BC，QF⊥CB
∴△CQF∽△CDE
∴
∴     ∴CF=，QF=，
∴PG==，QG=8－
∴=（8－t）2+22=t2+16t+68，
∴PQ2=QG2+PG2=（8－）2+（）2=
若DQ=PD，則（10－t）2= t2+16t+68，解得：t=8；………………（6分）
若DQ=PQ，則（10－t）2=，
解得：t1=，t2=＞8（舍去），
此時(shí)t=；             ………………（8分）
（ii）當(dāng)8＜t＜10時(shí)，PD=DQ=10－t，
∴此時(shí)以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立；………………（9分）
而當(dāng)t=10時(shí)，點(diǎn)P、D、Q三點(diǎn)重合，無法構(gòu)成三角形；…………（10分）
綜上,當(dāng)t=或8≤t＜10時(shí)，以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形.                                

略