Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（4，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），對(duì)稱(chēng)軸x＝1，與x軸交于點(diǎn)H．

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）直線(xiàn)y＝kx+1（k≠0）與y軸交于點(diǎn)E，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn) P，Q（點(diǎn)P在y軸左側(cè)，點(diǎn)Q在y軸右側(cè)），連接CP，CQ，若△CPQ的面積為，求點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，連接AC交PQ于G，在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)K，連接GK，將線(xiàn)段GK繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)K恰好落在拋物線(xiàn)上，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為：（，）、（，﹣）；（3）存在，點(diǎn)K（1，）．

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸x＝1，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將點(diǎn)B代入拋物線(xiàn)表達(dá)式中求出a的值，即可求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)直線(xiàn)PQ交y軸于點(diǎn)E（0，1），點(diǎn)P、Q橫坐標(biāo)分別為m，n，聯(lián)立拋物線(xiàn)與直線(xiàn)PQ的表達(dá)式可得方程，求解方程即可得出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)K（1，m），聯(lián)立PQ和AC的表達(dá)式，即可求出G點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)G作x軸的平行線(xiàn)交函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M，交過(guò)點(diǎn)R與y軸的平行線(xiàn)于點(diǎn)N，通過(guò)△KMG≌△GNR可得R（m﹣1，），將R點(diǎn)代入拋物線(xiàn)解析式即可求出m的值，求得K的坐標(biāo)．

（1）對(duì)稱(chēng)軸x＝1，則點(diǎn)B（﹣2，0），

則拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），

即﹣8a＝2，

解得：a＝，

故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝；

（2）設(shè)直線(xiàn)PQ交y軸于點(diǎn)E（0，1），點(diǎn)P、Q橫坐標(biāo)分別為m，n，

△CPQ的面積＝×CE×（n﹣m）＝，即n﹣m＝2，

聯(lián)立拋物線(xiàn)與直線(xiàn)PQ的表達(dá)式并整理得：…①，

m+n＝2﹣4k，mn＝﹣4，

n﹣m＝2＝＝，

解得：k＝0（舍去）或1；

將k＝1代入①式并解得：x＝，

故點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為：（，）、（，﹣）

（3）設(shè)點(diǎn)K（1，m），

聯(lián)立PQ和AC的表達(dá)式并解得：x＝，故點(diǎn)G（，）

過(guò)點(diǎn)G作x軸的平行線(xiàn)交函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M，交過(guò)點(diǎn)R與y軸的平行線(xiàn)于點(diǎn)N，

則△KMG≌△GNR（AAS），

GM＝1-＝＝NR，MK＝，

故點(diǎn)R的縱坐標(biāo)為：，則點(diǎn)R（m﹣1，）

將該坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)表達(dá)式解得：x＝，

故m＝，

故點(diǎn)K（1，）．