Question

求證：過(guò)圓內(nèi)接四邊形各邊的中點(diǎn)向?qū)�邊所作�?條垂線交于一點(diǎn)．

Answer 1

分析：此題首先過(guò)圓內(nèi)接四邊形兩邊的中點(diǎn)向?qū)�邊引垂線，產(chǎn)生交點(diǎn)，然后再進(jìn)一步證明過(guò)另外兩邊的中點(diǎn)和交點(diǎn)的直線垂直于對(duì)邊即可．根據(jù)三角形的中位線定理、垂徑定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)即可證明．

解答：
證明：圓內(nèi)接四邊形ABCD，O為圓心，LR、EF為符合題意的線段，相交于K，連接LO、FO．
設(shè)M、G分別為AD、BC的中點(diǎn)，連接LM、MF、FG、GL，連接MK、KG、GO、OM．
∵L、F分別為AB、DC的中點(diǎn)，
∴LO⊥AB、OF⊥DC，
同時(shí)EF⊥AB，LR⊥DC，
∴LO∥EF，OF∥LR，
∴LOFK為平行四邊形，
∴LO=KF．
連接AC、BD．根據(jù)中位線定理和平行四邊形的判定，易證明四邊形LGFM為平行四邊形．
則LG=MF，
又LG∥MF，LO∥KF，
∴∠GLO=∠MFK，
∴△LGO≌△MFK，
∴OG=MK，
同理KG=OM．
故OGKM為平行四邊形．
∴MO∥KG，MK∥OG．
綜上，LR、EF、MQ、GP同為符合題意的線段．
所以過(guò)圓內(nèi)接四邊形各邊的中點(diǎn)向?qū)�邊所作�?條垂線交于一點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了垂徑定理、三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)．