Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A是y軸上一點，其坐標為（0，6），點B在x軸的正半軸上．點P，Q均在線段AB上，點P的橫坐標為m，點Q的橫坐標大于m，在△PQM中，若PM∥x軸，QM∥y軸，則稱△PQM為點P，Q的“肩三角形．

（1）若點B坐標為（4，0），且m＝2，則點P，B的“肩三角形”的面積為　 　；

（2）當點P，Q的“肩三角形”是等腰三角形時，求點B的坐標；

（3）在（2）的條件下，作過O，P，B三點的拋物線y＝ax2+bx+c

①若M點必為拋物線上一點，求點P，Q的“肩三角形”面積S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍．

②當點P，Q的“肩三角形”面積為3，且拋物線y＝ax2+bx+c與點P，Q的“肩三角形”恰有兩個交點時，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）（6，0）；（3）①S＝2m2﹣12m+18（0＜m＜3）；②m＝3﹣或3≤m≤6﹣．

【解析】

（1）先利用待定系數法求出直線AB解析式，進而可得點P、M坐標，然后根據三角形的面積公式求解即可；

（2）根據題意可得MP＝MQ，∠PMQ＝90°，進而可得OB與OA的關系，問題即得解決；

（3）①因為M點必為拋物線上一點，所以可先確定自變量m取值范圍，然后利用待定系數法求出直線AB的表達式，由拋物線y＝ax2+bx+c經過O，B兩點，根據拋物線的對稱性可確定拋物線的對稱軸，設出點P的坐標后即得點Q的坐標，進而可求得PM的長，進一步即可求出S與m之間的函數關系式；

②當點P在對稱軸左側，利用①中的關系式即可求出m的值；當點P在對稱軸上或對稱軸右側時，由“肩三角形”面積為3可求出PQ的長，于是可用m的代數式表示出Q、M的坐標，進一步即得關于m的不等式組，解不等式組即得結果.

解：（1）如圖1，∵A（0，6），B（4，0），

∴直線AB解析式為y＝﹣x+6，

∵m＝2，∴P（2，3），

∵PM∥x軸，BM∥y軸，

∴M（4，3），∠PMB＝90°，

∴PM＝2，BM＝3，

∴點P，B的“肩三角形”△PBM的面積＝PMBM＝×2×3＝3；

（2）如圖2，根據題意，得MP＝MQ，∠PMQ＝90°，

∴∠MPQ＝45°，

∴∠ABO＝45°，

∴OB＝OA＝6，

∴點B的坐標為（6，0）；

（3）如圖3，①因為M點必為拋物線上一點，所以自變量m取值范圍為：0＜m＜3，

由（2）易得，直線AB的表達式為y＝6﹣x，

∴點P的坐標為（m，6﹣m），

∵拋物線y＝ax2+bx+c經過O，B兩點，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝3，

∴點M的坐標為（6﹣m，6﹣m），

∴PM＝（6﹣m）﹣m＝6﹣2m，

S＝PM2＝×（6﹣2m）2＝2m2﹣12m+18（0＜m＜3）；

②當點P在對稱軸左側，即0＜＜3時，∵點P，Q的“肩三角形”面積為3，

由①得：2m2﹣12m+18＝3，解得：m＝3﹣（已舍去不合題意的）；

當點P在對稱軸上或對稱軸右側，即3≤m＜6時，由點P，Q的“肩三角形”面積為3可得PM＝，

∴M（m+，6﹣m），Q（m+，6﹣﹣m）

∵拋物線＝ax2+bx+c與點P，Q的“肩三角形”恰有兩個交點，

∴，解得：3≤m≤6﹣，

綜上所述，m的取值范圍為：m＝3﹣或3≤m≤6﹣．