Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D點(diǎn)，O是AB上一點(diǎn)，經(jīng)過A、D兩點(diǎn)的⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)E、F．

（1）用尺規(guī)補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）求證：BC與⊙O相切；

（3）當(dāng)AD=2，∠CAD=30°時(shí)，求劣弧AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）π

【解析】

（1）作AD的垂直平分線交AB于點(diǎn)O，以OA為半徑畫圓O分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，則圓O即為所求；

（2）連接OD，得到OD＝OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAD＝∠ODA，等量代換得到∠ODA＝∠CAD，根據(jù)平行線的判定定理可得，OD∥AC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可求證結(jié)論；

（3）連接DE，根據(jù)圓周角定理得到∠ADE＝90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠AOD＝120°，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AE＝，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得結(jié)論．

（1）解：如圖所示，

（2）證明：連結(jié)OD，則OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA，

∵∠OAD=∠CAD，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵∠C=90°，

∴∠ODC=90°，

即BC⊥OD，

∵BC經(jīng)過半徑OD的外端

∴BC與⊙O相切；

（3）解：連接DE，

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ADE=90°，

∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°，

∴∠AOD=120°，

在Rt△ADE中，

AE= = ＝4，

∴⊙O的半徑=2，

∴劣弧AD的長(zhǎng)==π．