Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過A（-1，0)，B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D.

（1）求該拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）連接AC,CD,DB,BC，設(shè)△AOC,△BOC,△BCD的面積分別為 S1，S2，S3，求證：.

（3）點(diǎn)M是線段AB上一動點(diǎn)（不包括點(diǎn)A和點(diǎn)B），過點(diǎn)M作MN//BC交AC于點(diǎn)N,連接MC，是否存在點(diǎn)M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和此時直線MN的解析式；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4）；（2）見解析（3）直線MN的解析式為.

【解析】

試題

（1）由拋物線過點(diǎn)A（-1，0)，B(3,0)可得其解析式為：，化簡、再配方為頂點(diǎn)式，可得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）連接AC，CD，DB，BC，由（1）中所求解析式可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，這樣就可由A、B、C、D、O五點(diǎn)的坐標(biāo)分別求出三個三角形△AOC，△BOC，△BCD的面積，從而可證得：.

（3）由題意可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），其中-1<m<3，則AM=m+1；由已知和（2）可求得：AC=，AB=4；由MN∥BC可得：AM:AB=AN:AC，從而可得解得：AN=；由∠AMN=∠ACM,∠MAN=∠CAM，可得△AMN∽△ACM，因此：AM:AC=AN:AM，由此可列出關(guān)于m的方程，解方程求得m的值即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后利用已知可求得直線BC的解析式，再由MN∥BC，即可求得直線MN的解析式.

試題解析：

（1）∵拋物線過點(diǎn)A（-1，0)，B(3,0)

∴拋物線的解析式為y=(x+1)(x-3),即y=x2-2x-3.

∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4）

（2）如下圖，

∵當(dāng)x=0時，y=x2-2x-3=-3,

∴C(0,-3)，

又∵A(-1,0),B(3,0),

∴,

,

.

∴.

∴△BCD為直角三角形，.

∴.

∵,,

∴.

（3）存在點(diǎn)M使∠AMN=∠ACM.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m,0）(-1<m<3)，則MA=m+1,

,AB=1+3=4，

∵M(jìn)N//BC,

∴AM:AB=AN:AC,即(m+1):AN=4:.

解得AN=.

∵∠AMN=∠ACM,∠MAN=∠CAM,

∴△AMN∽△ACM.

∴AM:AC=AN:AM.即(m+1)2=.

解得m1=-1（不合題意，舍去），.

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b.

把B(3,0),C(0,-3)代入，得解得

∴直線BC的解析式為y=x-3.

又∵MN//BC,

∴設(shè)直線MN的解析式為y=x+n.

把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入，得.

∴直線MN的解析式為.