Question

關(guān)于x的一元二次方程4x²+4（m-1）x+m²=0
（1）當(dāng)m在什么范圍取值時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根？
（2）設(shè)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，問m為何值時(shí)，？
（3）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，問x₁和x₂能否同號(hào)？若能同號(hào)，請(qǐng)求出相應(yīng)m的取值范圍；若不能同號(hào)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵當(dāng)△=[4（m-1）]²-4×4m²=-8m+4≥0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
即m≤，
∴當(dāng)m≤時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得：x₁+x₂=-=1-m，x₁•x₂=，
∵x₁²+x₂²=17，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=17，
∴（1-m）²-=17＜
解得：m₁=8，m₂=-4，
∵當(dāng)m≤時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m=-4；

（3）∵由（1）知當(dāng)m≤時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由（2）知x₁+x₂=-=1-m，x₁•x₂=，
∴1-m＞0，＞0，
∴當(dāng)m≠0，且m≤時(shí)，x₁和x₂能同號(hào)，
即m的取值范圍是：m≠0，且m≤．
分析：（1）根據(jù)根的判別式，求出不等式[4（m-1）]²-4×4m²≥0的解集即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=-=1-m，x₁•x₂=，化成（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=17代入求出即可；
（3）根據(jù)當(dāng)m≤時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和x₁+x₂=-=1-m，x₁•x₂=，推出1-m＞0，＞0，即可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，注意：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系及根與系數(shù)的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．
（4）若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．