Question

（2013•蘭州一模）若x₁，x₂是關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根，則方程的兩個(gè)根x₁，x₂和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

，把它們稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理，請(qǐng)利用此定理解答一下問題：
已知x₁，x₂是一員二次方程（m-3）x²+2mx+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）是否存在實(shí)數(shù)m，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立？若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)你說明理由；
（2）若|x₁-x₂|=

3

，求m的值和此時(shí)方程的兩根．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)根的判別式得到m的取值范圍為m≥0且m≠3，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=-

2m

m-3

，x₁•x₂=

m

m-3

，然后利用-x₁+x₁x₂=4+x₂得

m

m-3

=4-

2m

m-3

，再解關(guān)于m的方程即可；
（2）先利用完全平方公式變形得到（x₁-x₂）²=3，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=3，再把x₁+x₂=-

2m

m-3

，x₁•x₂=

m

m-3

代入得到（-

2m

m-3

）²-4×

m

m-3

=3，解得m₁=1，m₂=9，
然后分別把m的值代入原方程，并且利用公式法解方程．

解答：解：（1）存在．
∵x₁，x₂是一元二次方程（m-3）x²+2mx+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m-3≠0且△=4m²-4（m-3）•m≥0，
∴m的取值范圍為m≥0且m≠3，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=-

2m

m-3

，x₁•x₂=

m

m-3

，
∵-x₁+x₁x₂=4+x₂，
∴x₁x₂=4+x₁+x₂，
∴

m

m-3

=4-

2m

m-3

，
∴m=12；

（2）∵|x₁-x₂|=

3

，
∴（x₁-x₂）²=3，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=3，
∴（-

2m

m-3

）²-4×

m

m-3

=3，解得m₁=1，m₂=9，
當(dāng)m=1時(shí)，原方程變形為2x²-2x-1=0，解得x₁=

1+ 3

2

，x₂=

1- 3

2

；
當(dāng)m=9時(shí)，原方程變形為2x²+6x+3=0，解得x₁=

-3+ 3

2

，x₂=

-3- 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個(gè)為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判別式．