Question

【題目】如圖1，已知矩形ABED（兩組對邊分別相等，四個內角都是直角），點C是邊DE的中點，且AB=2AD．

（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（2）保持圖1中△ABC固定不變，繞點C旋轉DE所在的直線MN到圖2中（當垂線段AD、BE在直線MN的同側），試探究線段AD、BE、DE長度之間有什么關系？并給予證明；

（3）保持圖2中△ABC固定不變，繼續(xù)繞點C旋轉DE所在的直線MN到圖3中的位置（當垂線段AD、BE在直線MN的異側）．試探究線段AD、BE、DE長度之間有什么關系？并給予證明．

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Answer 1

【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形．理由見解析；

（2）DE=AD+BE．理由見解析；

（3）DE=BE-AD．理由見解析.

【解析】試題分析：（1）根據矩形的性質及勾股定理，即可判斷△ABC的形狀；

（2）先證明△ACD≌△CBE，然后根據線段之間的關系可得AD、BE、DE長度之間的關系；（3）通過證明△ACD≌△CBE，根據全等三角形的性質得出即可得線段AD、BE、DE長度之間的關系．

試題解析：（1）△ABC是等腰直角三角形．理由如下：

在△ADC與△BEC中，AD=BE，∠D=∠E=90°，DC=EC，

∴△ADC≌△BEC（SAS），

∴AC=BC，∠DCA=∠ECB．

∵AB=2AD=DE，DC=CE，

∴AD=DC，

∴∠DCA=45°，

∴∠ECB=45°，

∴∠ACB=180°-∠DCA-∠ECB=90°．

∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）DE=AD+BE．理由如下：

在△ACD與△CBE中，∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE，∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴AD=CE，DC=EB．

∴DC-CE=BE-AD，

即DE=AD+BE．

（3）DE=BE-AD．理由如下：

在△ACD與△CBE中，∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE，∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴AD=CE，DC=EB．

∴DC-CE=BE-AD，

即DE=BE-AD．