Question

如圖，直線AB經(jīng)過(guò)⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點(diǎn)，AB=4，半徑OC的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)B的直線交于點(diǎn)D，OC=CD，BC=

1

2

OD．點(diǎn)Q為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）若∠BCQ=45°，求弦CQ的長(zhǎng)．
（2）在點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，CQ的與直線AB相交于點(diǎn)P，問(wèn)PO為何值時(shí)，△BCQ是等腰三角形；
（3）當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使得QP=QO？若存在，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有幾個(gè)？并求出相應(yīng)的∠BCP；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）如圖，過(guò)B作BH⊥CQ，Q為垂足，
∵OC=CD，BC=

1

2

OD．
∴△OCB為等邊三角形，BC=2，
∴∠COB=60°，
∴∠CQP=30°，
在Rt△BCH中，∠QCB=45°，
∴CH=BH=2×

1

2

=

2

，
在Rt△BQH中，HQ=

3

BH=

6

，
∴CQ=CH+QH=

2

+

6

；

（2）當(dāng)BC為腰時(shí)，如圖，
∴OB垂直平分CQ，
∴PO=1（P點(diǎn)在點(diǎn)O右邊）；
當(dāng)BC為底時(shí)（如圖），
過(guò)Q作BC的垂線必過(guò)圓心O，過(guò)C作CM⊥OB，M為垂足，
∵∠CQB=

1

2

∠COB=30°，
∴∠QCB=75°，
∴∠PCM=75°-30°=45°，
∴△CPM為等腰直角三角形，
∴PO=PM-OM=

3

-1；

（3）當(dāng)P在OB之間時(shí)，∠BCP=40°；
當(dāng)P在O點(diǎn)左邊時(shí)（如圖），∠BCP=100度．
當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，如圖，∵OQ=PQ，
∴∠QOP=∠P，
∴∠CQO=2∠P，
∴∠OCP=2∠P，
∴∠P=40°，
∴∠BCP=20°．