Question

矩形ABCD中，AD=10，AB=6，將矩形ABCD折疊，折痕為EF
（1）當(dāng)A與B重合時(shí)（如圖1），EF=

10

；
（2）當(dāng)直線EF過點(diǎn)D時(shí)（如圖2），點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在線段BC上，求線段EF的長(zhǎng)；
（3）如圖3，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在線段BC上，E點(diǎn)在線段AB上（E不與A、B重合），同時(shí)F點(diǎn)也在線段AD上（F不與A、D重合），則A′B的長(zhǎng)的范圍是

2＜A′B＜6

；
（4）如圖4，矩形沿直線EF折疊后，A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在線段DC上，且A′D=2，求折痕EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)A與B重合時(shí)，D與C重合，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知EF=AD=10；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到A′D=AD=10，∠A=∠EA′D=90°，在Rt△A′DC中利用勾股定理可計(jì)算出A′C=8，設(shè)AE=x，則BE=6-x，在Rt△EBA′中，利用勾股定理得（6-x）²+2²=x²，解得x=

10

3

，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理即可計(jì)算出EF；
（3）A′B最小時(shí)，F(xiàn)、D重合，由折疊的性質(zhì)知：AF=A′F，在Rt△A′FC中，利用勾股定理可求得A′C的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得A′B的值，即A′B的最小值；A′B最大時(shí)，E、B重合，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到AB=BA′=6，即A′B的最大值為6；由此得到A′B的取值范圍；
（4）設(shè)FD=x，則AF=10-x，在RT△A′DF中利用勾股定理可解出x的值，再由△A′DF∽△GCA′，利用相似三角形的性質(zhì)可得出CG、A′G的長(zhǎng)度，得出B′G，再由△B′GE≌△CGA′，利用全等三角形的性質(zhì)可得出EG的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理求出EF．

解答：解：（1）如圖1，當(dāng)A與B重合時(shí)，D與C重合，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知EF=AD=10；

（2）如圖2，∵將矩形ABCD折疊，折痕為EF，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在線段BC上，
∴A′D=AD=10，∠A=∠EA′D=90°． 
在Rt△A′DC中，∵DC=AB=6，A′D=10，∠C=90°，
∴A′C=

A′D2-CD2

=8，
∴A′B=BC-A′C=10-8=2．
設(shè)AE=x，則BE=6-x，A′E=x．
在直角△A′BE中，∵BE²+A′B²=A′E²，
∴（6-x）²+2²=x²，
解得x=

10

3

．
在Rt△AEF中，EF=

AE2+AD2

=

100 9 +100

=

10 10

3

；

（3）如圖3①，當(dāng)F、D重合時(shí)，A′B的值最�。�
根據(jù)折疊的性質(zhì)知：AF=A′F=10；
在Rt△A′FC中，A′F=10，F(xiàn)C=6，則A′C=8，
此時(shí)A′B=10-8=2；
如圖3②，當(dāng)E、B重合時(shí)，A′B的值最大；
此時(shí)A′B=AB=6．
所以A′B的長(zhǎng)的范圍是2＜A′B＜6；

（4）如圖4，設(shè)A′B′與BC交于點(diǎn)G，F(xiàn)D=x，則AF=A′F=10-x，
在RT△A′DF中，∵FD=x，A′F=10-x，A′D=2，∠D=90°，
∴（10-x）²=x²+2²，
解得x=4.8．
則FD=4.8，則AF=A′F=5.2．
在△A′DF與△GCA′中，
∵

∠D=∠C=90° ∠DA′F=∠CGA′=90°-∠CA′G

，
∴△A′DF∽△GCA′，
∴A′D：GC=DF：CA′=A′F：A′G，
∴2：GC=4.8：4=5.2：A′G，
解得GC=

5

3

，A′G=

13

3

，
∴B′G=A′B′-A′G=6-

13

3

=

5

3

．
在△B′GE與△CGA′中，

∠B′=∠C=90° B′G=CG ∠B′GE=∠CGA′

，
∴△B′GE≌△CGA′，
∴EG=A′G=

13

3

，
∴CE=CG+EG=6，
∴EF=

CD2+(CE-DF)2

=

62+( 6 5 )2

=

6

5

26

．
故答案為10，2＜A′B＜6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．