Question

兩個反比例函數(shù)y=

k

x

和y=

1

x

在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)P在y=

k

x

的圖象上，PC⊥x軸于點(diǎn)C，交y=

1

x

的圖象于點(diǎn)A，PD⊥y軸于點(diǎn)D，交y=

1

x

的圖象于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)P在y=

k

x

的圖象上運(yùn)動時，以下結(jié)論：①△ODB與△OCA的面積相等；②四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；③PA與PB始終相等；④當(dāng)點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)時，點(diǎn)B一定是PD的中點(diǎn)．其中一定正確的是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），而A、B兩點(diǎn)都在y=

1

x

的圖象上，故有x₁y₁=x₂y₂=1，而S_△ODB=

1

2

×BD×OD=

1

2

x₂y₂=

1

2

，S_△OCA=

1

2

×OC×AC=

1

2

x₁y₁=

1

2

，故①正確；
由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)可知P（x₁，y₂），P點(diǎn)在y=

k

x

的圖象上，故S_矩形OCPD=OC×PD=x₁y₂=k，根據(jù)S_{四邊形PAOB}=S_矩形OCPD-S_△ODB-S_△OCA，計(jì)算結(jié)果，故②正確；
由已知得x₁y₂=k，即x₁•

1

x2

=k，即x₁=kx₂，由A、B、P三點(diǎn)坐標(biāo)可知PA=y₂-y₁=

1

x2

-

1

x1

=

k-1

k x2

，PB=x₁-x₂，=（k-1）x₂，故③錯誤；
當(dāng)點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)時，y₂=2y₁，代入x₁y₂=k中，得2x₁y₁=k，故k=2，代入x₁=kx₂中，得x₁=2x₂，可知④正確．

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁y₁=x₂y₂=1，
∵S_△ODB=

1

2

×BD×OD=

1

2

x₂y₂=

1

2

，S_△OCA=

1

2

×OC×AC=

1

2

x₁y₁=

1

2

，故①正確；

（2）由已知，得P（x₁，y₂），
∵P點(diǎn)在y=

k

x

的圖象上，
∴S_矩形OCPD=OC×PD=x₁y₂=k，
∴S_{四邊形PAOB}=S_矩形OCPD-S_△ODB-S_△OCA=k-

1

2

-

1

2

=k-1，故②正確；

（3）由已知得x₁y₂=k，即x₁•

1

x2

=k，
∴x₁=kx₂，
根據(jù)題意，得PA=y₂-y₁=

1

x2

-

1

x1

=

k-1

k x2

，PB=x₁-x₂，=（k-1）x₂，故③錯誤；

（4）當(dāng)點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)時，y₂=2y₁，
代入x₁y₂=k中，得2x₁y₁=k，
∴k=2，
代入x₁=kx₂中，得x₁=2x₂，故④正確．

故本題答案為：①②④．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，涉及點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，相等長度的表示方法，三角形、四邊形面積的計(jì)算，充分運(yùn)用雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積等于反比例系數(shù)k．