Question

如圖，PA、PB分別切⊙0于A、B，PA、BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，連AB，若sin∠AQO=

4

5

，則tan∠ABP的值為（　�。�

• A．2
• B．3
• C．

  3

• D．2

Answer 1

分析：利用切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sin∠AQO=

4

5

，sin∠PAE=

PE

PA

=

4

5

，進(jìn)而利用切線長(zhǎng)定理得出AE，BE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．

解答：解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PB于點(diǎn)E，
∵PA、PB分別切⊙0于A、B，
∴PA=PB，∠PBO=90°，
∴AE∥BQ，
∴∠PAE=∠Q，
∵sin∠AQO=

4

5

，
∴sin∠PAE=

PE

PA

=

4

5

，
設(shè)PB=4x，則PQ=5x，故PA=4x，
∴PE=

16

5

x，
∴BE=

4

5

x，
AE=

PA2-PE2

=

12

5

x，
∴tan∠ABP=

AE

EB

=

12 5 x

4 5 x

=3．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及切線長(zhǎng)定理和勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)已知表示出AE，BE的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．