Question

在△ABC中，AD是中線(xiàn)，O為AD的中點(diǎn)，直線(xiàn)a過(guò)點(diǎn)O，過(guò)A、B、C三點(diǎn)分別作直線(xiàn)a的垂線(xiàn)，垂足分別為G、E、F，當(dāng)直線(xiàn)a繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到與AD垂直時(shí)（如圖1），易證：BE+CF=2AG，
當(dāng)直線(xiàn)a繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到與AD不垂直時(shí)，在圖2、圖3兩種情況下，線(xiàn)段BE、CF、AG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)圖3的猜想給予證明．

Answer 1

（1）解：猜想結(jié)果：圖2結(jié)論為BE+CF=2AG，
圖3結(jié)論為BE-CF=2AG．

（2）證明：連接CE，過(guò)D作DQ⊥l，垂足為Q，交CE于H（圖4），
∵∠AGO=∠DQO=90°，∠AOG=∠DOQ（對(duì)頂角相等），且O為AD的中點(diǎn)即AO=DO，
∴△AOG≌△DOQ（AAS），即AG=DQ，
∵BE∥DH∥FC，BD=DC，
∴CH：EH=CD：BD=FQ：EQ，
∴QH是三角形EFC的中位線(xiàn)，
∴BE=2DH，CF=2QH，
∴BE-CF=2（DQ+QH）-2QH=2DQ=2AG．
分析：（1）據(jù)圖片可做猜測(cè)圖2為BE+CF=2AG，圖3為BE-CF=2AG；
（2）證明圖3中BE-CF=2AG，可以連接CE，過(guò)D作DQ⊥l，垂足為Q，交CE于H，根據(jù)∠AGO=∠DQO=90°，∠AOG=∠DOQ（對(duì)頂角相等），且O為AD的中點(diǎn)即AO=DO，所以△AOG≌△DOQ，得到AG=DQ；又因?yàn)锽E∥DH∥FC，AD是中線(xiàn)，可得BE=2DH，CF=2QH，所以BE-CF=2（DQ+QH）-2QH=2DQ=2AG．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的判定，涉及到中位線(xiàn)的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)，垂線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正解畫(huà)出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．