Question

如圖，有一塊三角形土地，它的底邊BC=100米，高AH=80米，某單位要沿著地邊BC修一座底面是矩形DEFG的大樓，D、G分別在A(yíng)B、AC的邊上，問(wèn)當(dāng)這個(gè)矩形面積最大時(shí)，它的長(zhǎng)與寬各是多少米？面積最大為多少平方米？

Answer 1

分析：設(shè)DG的長(zhǎng)為x，矩形DEFG面積為y，易證得△ADG∽△ABC，那么它們的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)高的比相等，可據(jù)此求出AP的表達(dá)式，進(jìn)而可求出PH即DE、GF的長(zhǎng)，已知矩形的長(zhǎng)和寬，即可根據(jù)矩形的面積公式得到y(tǒng)、x的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍，即可求出矩形的最大面積及對(duì)應(yīng)的DG的長(zhǎng)．

解答：解：（1）設(shè)DG的長(zhǎng)為x，矩形DEFG面積為y，
∵矩形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，
∴DG∥BC，（1分）
∴△ADG∽△ABC（2分）
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG
∴

AP

AH

=

DG

BC

，
∴

AP

80

=

DG

100

，（2分）
∴AP=

4

5

x，DE=PH=80-

4

5

x，（1分）
∴y=-

4

5

x2+80x（0＜x＜100）；（2分）

（2）y=-

4

5

x2+80x=-

4

5

（x²-100x+2500）+2000=-

4

5

（x-50）²+2000；（1分）
根據(jù)函數(shù)圖象可知，拋物線(xiàn)y=-

4

5

x2+80x，開(kāi)口向下，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是它的最高點(diǎn)，且x=50在函數(shù)的定義域內(nèi)；（1分）
所以當(dāng)DG的長(zhǎng)為50米，DE=40米時(shí)，矩形DEFG面積最大為2000平方米．（2分）
答：長(zhǎng)與寬各是50米和40米，面積最大為2000平方米．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的最大值的求值問(wèn)題，考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，本題中求得x的值使得xy有最大值是解題的關(guān)鍵．